AI กำลังแก้ปัญหา Erdős สิ่งที่จะเกิดขึ้นต่อไป?

เพียงไม่กี่เดือนที่ผ่านมา คำถามดูเหมือนจะเป็นคำถามเชิงปรัชญา: หากปัญญาประดิษฐ์สามารถช่วยแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ที่เปิดอยู่ได้ สิ่งที่จะเกิดขึ้นกับแนวคิดเรื่องความฉลาดของมนุษย์?

คำถามนั้นไม่ใช่คำถามเชิงทฤษฎีอีกต่อไป สองความก้าวหน้าล่าสุดเกี่ยวกับ OpenAI และ Google DeepMind บ่งชี้ว่า AI กำลังเปลี่ยนจากผู้ช่วยคณิตศาสตร์เป็นผู้เข้าร่วมคณิตศาสตร์ ไม่ใช่ในความหมายที่ AI จะแทนที่นักคณิตศาสตร์ทั้งหมด แต่ในความหมายที่ AI สามารถสร้าง ค้นหา ตรวจสอบ และบางครั้งค้นพบข้อโต้แย้งที่สามารถผ่านการตรวจสอบของผู้เชี่ยวชาญได้

ความก้าวหน้าแรกมาจาก OpenAI ซึ่ง ประกาศ ว่าโมเดลการให้เหตุผลทั่วไปภายในได้ทำการผ่านทางใหม่ในเรื่องปัญหาระยะทางหน่วยในระนาบ ซึ่งเป็นปัญหาที่มีชื่อเสียงที่ Paul Erdős ตั้งขึ้นในปี 1946 ปัญหานี้ถามว่าจุดในระนาบสามารถมีระยะห่างหนึ่งหน่วยกันกี่คู่ สำหรับหลายทศวรรษที่ผ่านมา ความเชื่อที่มีคนคิดกันว่าโครงสร้างแบบกริดสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นวิธีการสร้างที่ดีที่สุด โมเดลของ OpenAI พบว่าครอบครัวใหม่ของการสร้างที่พิสูจน์ว่าความเชื่อนั้นไม่ถูกต้อง

ความก้าวหน้าที่สองมาจากนักวิจัยของ Google DeepMind ซึ่ง ตีพิมพ์บทความ ที่มีชื่อว่า Advancing Mathematics Research with AI-Driven Formal Proof Search ระบบของพวกเขา AlphaProof Nexus ประเมินการสร้างหลักฐานโดย AI ในปัญหาที่เปิดอยู่ในระดับการวิจัยและรายงานว่าเอเย่นต์ที่แข็งแกร่งที่สุดของระบบสามารถแก้ปัญหา Erdős ที่เปิดอยู่ได้ 9 ใน 353 ปัญหา และพิสูจน์ข้อสันนิษฐานที่เปิดอยู่ 44 ใน 492 ข้อจาก Online Encyclopedia of Integer Sequences

ผลลัพธ์เหล่านี้บ่งชี้ถึงการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญ เรื่องราวที่สำคัญไม่ใช่ว่า AI ได้แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ทั้งหมดแล้ว แต่ AI ได้เริ่มทำงานภายในวงจรการวิจัยเอง

ทำไมปัญหา Erdős จึงเป็นการทดสอบที่ร้ายแรงสำหรับ AI

Paul Erdős เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มีผลงานมากที่สุดในประวัติศาสตร์ และปัญหาที่เกี่ยวข้องกับงานของเขามีตำแหน่งพิเศษในคณิตศาสตร์ ปัญหาหลายข้อเป็นเรื่องที่ง่ายที่จะอธิบาย แต่ยากที่จะแก้ และเชื่อมโยงกับพื้นที่ที่ลึกซึ้ง เช่น ทฤษฎีจัดเรียง ทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีกราฟ และเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่อง

สิ่งนี้ทำให้ปัญหา Erdős มีประโยชน์เป็นอย่างมากในการใช้เป็นมาตรฐานสำหรับการให้เหตุผลของ AI ปัญหาเหล่านี้ไม่ใช่การออกกำลังกายในโรงเรียน และไม่ใช่ข้อสันนิษฐานที่ยิ่งใหญ่เช่น ข้อสันนิษฐานของ Riemann แต่ปัญหา Erdős หลายข้ออยู่ในพื้นที่กลางที่ความก้าวหน้าขึ้นอยู่กับการค้นหาการเชื่อมต่อที่ถูกต้อง การสร้างที่ถูกต้อง หรือเลมมาที่ถูกละเลย

สิ่งนี้เป็นจุดที่ AI อาจมีประโยชน์มากที่สุดในตอนแรก ระบบการให้เหตุผลสมัยใหม่ไม่ใช่แค่เครื่องคิดเลข แต่สามารถสำรวจเส้นทางการให้เหตุผลหลายเส้นทาง เปรียบเทียบยุทธวิธีบางส่วน ค้นหาความคิดที่อยู่ห่างไกลจากสาขาที่อยู่ใกล้เคียง และทดสอบว่าข้อโต้แย้งสามารถทำให้เข้มงวดได้หรือไม่

ผลลัพธ์ของ OpenAI โดดเด่นเพราะโมเดลไม่ได้เพียงขัดเกลาแนวทางที่รู้จักอยู่แล้ว แต่ค้นพบสะพานที่คาดไม่ถึงระหว่างเรขาคณิตไม่ต่อเนื่องกับทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต นี่คือการก้าวข้ามทางแนวคิดแบบที่นักคณิตศาสตร์มักเชื่อมโยงกับความคิดสร้างสรรค์อย่างแท้จริง

OpenAI และการผ่านทางระยะทางหน่วย

ปัญหาระยะทางหน่วยในระนาบเป็นเรื่องที่ง่ายที่จะอธิบาย วางจุด n ในระนาบ และนับว่ามีจุดกี่คู่ที่อยู่ห่างจากกันหนึ่งหน่วย เป้าหมายคือการทำความเข้าใจว่าจำนวนคู่นี้สามารถใหญ่แค่ไหนเมื่อ n เพิ่มขึ้น

เป็นเวลาเกือบ 80 ปี นักคณิตศาสตร์หลายคนคิดว่าโครงสร้างที่ดีที่สุดจะไม่เหนือกว่าโครงสร้างแบบกริดสี่เหลี่ยมจัตุรัสมากนัก โมเดลของ OpenAI ได้ท้าทายสมมติฐานนี้โดยการสร้างตัวอย่างที่ไม่สิ้นสุดซึ่งชนะขอบเขตที่คาดหวังด้วยการปรับปรุงพหุนาม

สิ่งนี้มีความสำคัญสองประการ ประการแรก มันเปลี่ยนภาพคณิตศาสตร์ มันชี้ให้เห็นว่าโครงสร้างทางทฤษฎีจำนวนอาจมีส่วนร่วมในการเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องมากกว่าที่นักวิจัยหลายคนคิด ประการที่สอง มันเปลี่ยนภาพ AI ระบบที่เกี่ยวข้องถูกอธิบายว่าเป็นโมเดลการให้เหตุผลทั่วไป ไม่ใช่ระบบที่สร้างขึ้นเพื่อปัญหานี้โดยเฉพาะ

กล่าวอีกอย่างคือ ระบบสามารถถ่ายโอนพลังการให้เหตุผลไปยังบริบทการวิจัยที่ไม่คุ้นเคย ไม่ได้เพียงจดจำบทพิสูจน์เดิม แต่สร้างผลลัพธ์ที่นักคณิตศาสตร์ภายนอกยอมรับว่าเป็นผลงานสำคัญ

Google DeepMind และการค้นหาบทพิสูจน์อย่างเป็นทางการ

บทความของ Google DeepMind พูดถึงคำถามที่แตกต่างแต่สำคัญไม่แพ้กัน วิธีใดที่จะทำให้การค้นหาคณิตศาสตร์ที่สร้างโดย AI น่าเชื่อถือ

โมเดลภาษาสามารถสร้างข้อโต้แย้งที่ดูสง่างามแต่ซ่อนข้อผิดพลาดละเอียดไว้ ในงานเขียนทั่วไปข้อผิดพลาดอาจตรวจพบยาก แต่ในคณิตศาสตร์ ขั้นตอนผิดเพียงขั้นเดียวทำให้บทพิสูจน์ทั้งหมดใช้ไม่ได้ นี่คือเหตุผลที่ระบบพิสูจน์อย่างเป็นทางการอย่าง Lean มีความสำคัญ Lean ไม่สนใจว่าข้อโต้แย้งฟังดูโน้มน้าวเพียงใด เพราะทุกขั้นตอนทางตรรกะต้องผ่านการตรวจสอบ

AlphaProof Nexus ใช้ข้อจำกัดนี้เป็นส่วนหนึ่งของขั้นตอนทำงาน เอเจนต์ AI สร้างความพยายามพิสูจน์ใน Lean รับข้อมูลย้อนกลับจากคอมไพเลอร์ ปรับแนวทาง และค้นหาต่อไป ส่วนเวอร์ชันที่แข็งแกร่งกว่าจะประสานเอเจนต์ย่อยและใช้เครื่องมือพิสูจน์ขั้นสูงเพื่อมุ่งเน้นการค้นหา

ผลของ DeepMind สำคัญเป็นพิเศษเพราะเชื่อมการให้เหตุผลของ AI เข้ากับการตรวจสอบ ระบบไม่จำเป็นต้องได้รับความไว้วางใจแบบเดียวกับแชตบอตภาษาธรรมชาติ เพราะบทพิสูจน์จะคอมไพล์ผ่านหรือไม่ผ่านอย่างชัดเจน

สิ่งนี้หมายถึงอะไรสำหรับการวิจัยคณิตศาสตร์

บทเรียนในปัจจุบันไม่ใช่ว่านักคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต่อการทำงานอีกต่อไป แต่เป็นว่าข้อผูกพันในคณิตศาสตร์อาจเปลี่ยนแปลงไป

ในประวัติศาสตร์ นักวิจัยต้องทำทุกอย่างตั้งแต่การกำหนดปัญหา การสำรวจวรรณกรรม การทดสอบความคิด การสร้างการให้เหตุผล การตรวจสอบทุกขั้นตอน และการนำเสนอผลลัพธ์ AI ที่กำลังจะเปลี่ยนการกระจายแรงงานนี้

• AI สามารถสำรวจเส้นทางการให้เหตุผลหลายเส้นทางก่อนที่มนุษย์จะใช้เวลาในการเดินหนึ่งเส้นทาง
• ระบบแบบเป็นทางการสามารถยืนยันขั้นตอนที่อีกที่มนุษย์จะต้องตรวจสอบอย่างช้าๆ
• นักวิจัยสามารถใช้ AI ในการค้นหาทั่วสาขาคณิตศาสตร์ที่อยู่ห่างไกล

สิ่งนี้อาจสร้างรูปแบบการวิจัยใหม่ แทนที่จะถาม AI เพื่อขอคำตอบ นักคณิตศาสตร์อาจกำกับกองเอเจนต์พิสูจน์มากขึ้น บทบาทมนุษย์จะคล้ายผู้อำนวยการวิจัยมากกว่าเครื่องคิดเลข คือเลือกปัญหาที่เหมาะสม ตีความผลลัพธ์ ตรวจหาความสำคัญทางแนวคิด และตัดสินใจว่าแนวทางใดควรสำรวจต่อ

ข้อจำกัดยังคงมีอยู่

เป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่พูดเกินจริงในเรื่องนี้ ระบบของ Google DeepMind แก้ปัญหา Erdős ได้ 9 ใน 353 ปัญหา นี่เป็นเรื่องที่น่าประทับใจ แต่ก็หมายความว่าปัญหา Erdős ส่วนใหญ่ยังคงไม่ได้รับการแก้ไข

AI ยังคงดิ้นรนเมื่อปัญหาหนึ่งต้องการโครงสร้างแนวคิดใหม่ เมื่อคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องไม่ได้รับการจัดรูปอย่างดี หรือเมื่อการให้เหตุผลขึ้นอยู่กับโซ่ของการมองเห็นที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้

• ระบบยังต้องพึ่งมนุษย์ในการเลือกและตีความปัญหา
• การทำให้เป็นทางการอาจยากเมื่อคำนิยามคลุมเครือหรือยังพัฒนาไม่เต็มที่
• ความพยายามพิสูจน์ที่ AI สร้างขึ้นอาจยังซ่อนงานยากไว้ในข้ออ้างช่วยที่ยังไม่ได้พิสูจน์

ข้อจำกัดเหล่านี้ไม่ใช่ความล้มเหลว แต่ชี้ว่าความก้าวหน้าครั้งต่อไปต้องเกิดที่ใด ทั้งเอเจนต์พิสูจน์ทฤษฎีที่ดีขึ้น ไลบรารีทางการที่สมบูรณ์ขึ้น ขั้นตอนตรวจสอบที่แข็งแกร่ง และส่วนต่อประสานมนุษย์กับ AI ที่มีประสิทธิภาพล้วนสำคัญ

สิ่งที่จะเกิดขึ้นต่อไปหลังจาก AI แก้ปัญหา Erdős

อนาคตที่ใกล้ที่สุดไม่ใช่ช่วงเวลาเดียวที่ AI จะแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ทั้งหมด แต่เป็นการขยายการวิจัยที่ได้รับการช่วยเหลือจาก AI เข้าสู่โดเมนที่มีการระบุปัญหาอย่างชัดเจน ห้องสมุดแบบเป็นทางการที่เข้มแข็ง และผลงานก่อนหน้าที่กระจัดกระจาย

วิทยาการเชิงจัดหมู่ ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีจำนวน การหาค่าเหมาะที่สุด และเรขาคณิตไม่ต่อเนื่องเป็นเป้าหมายเริ่มต้นตามธรรมชาติ สาขาเหล่านี้มักมีคำถามสั้นกระชับ แต่คำตอบต้องเชื่อมแนวคิดจากหลายแหล่ง ซึ่ง AI เหมาะกับการค้นหาแบบนี้

เมื่อเวลาผ่านไป รูปแบบเดียวกันอาจขยายพ้นคณิตศาสตร์ หากโมเดลรักษาโครงสร้างของข้อโต้แย้งที่ยาก ทดสอบข้ออ้างระหว่างทาง และเชื่อมแนวคิดข้ามสาขาได้ ความสามารถเหล่านี้ก็มีความหมายต่อฟิสิกส์ ชีววิทยา วัสดุศาสตร์ การเข้ารหัส และการวิจัย AI เอง

ผลกระทบที่ลึกกว่านั้นเป็นเรื่องวัฒนธรรม คณิตศาสตร์ให้คุณค่ากับบทพิสูจน์เสมอ แต่ก็ให้คุณค่ากับวิจารณญาณในการรู้ว่าคำถามใดสำคัญ นามธรรมใดควรถูกคิดค้น และผลลัพธ์ใดเปลี่ยนรูปของสาขา เมื่อการค้นหาบทพิสูจน์เป็นอัตโนมัติมากขึ้น วิจารณญาณอาจยิ่งสำคัญกว่าเดิม

บทสรุป: อัจฉริยภาพขยับขึ้นสู่ระดับที่สูงขึ้น

คำตอบต่อคำถามก่อนหน้านี้ชัดเจนขึ้นแล้ว หาก AI ช่วยแก้ปัญหาคณิตศาสตร์เปิดได้ อัจฉริยภาพของมนุษย์ไม่ได้หายไป แต่ขยับขึ้นสู่ระดับที่สูงขึ้น

ทักษะที่หาได้ยากจะไม่ใช่ความสามารถทำทุกขั้นตอนทางเทคนิคเพียงลำพัง แต่เป็นการตั้งคำถามที่ถูกต้อง กำหนดปัญหาอย่างเหมาะสม ตีความสิ่งที่ระบบค้นพบ และรู้ว่าเมื่อใดผลลัพธ์เป็นเพียงสิ่งแปลกใหม่หรือเป็นความก้าวหน้าอย่างแท้จริง

ความก้าวหน้าเรื่องระยะทางหนึ่งหน่วยของ OpenAI และผลการค้นหาบทพิสูจน์อย่างเป็นทางการของ Google DeepMind ไม่ได้ปิดฉากความคิดสร้างสรรค์ทางคณิตศาสตร์ของมนุษย์ แต่เปิดบทใหม่ที่ความคิดสร้างสรรค์ของมนุษย์และการค้นหาด้วยเครื่องจักรทำงานร่วมกัน

อนาคตของคณิตศาสตร์อาจไม่ได้เป็นของมนุษย์หรือเครื่องจักรเพียงฝ่ายเดียว แต่อาจเป็นของนักวิจัยที่เรียนรู้วิธีทำให้ทั้งสองคิดร่วมกัน