Бакмейстер і Альпоге опублікували докази вибуху у рідинних рівняннях за допомогою ШІ, спростовують контакт з OpenAI

Математик NYU Трістан Бакмейстер і дослідник Anthropic Левент Альпоге публічно розмістили три препринти, у яких встановлено вибух за скінчений час при гладкому збуренні для рівняння пористого середовища, двовимірної системи Буссінеська та тривимірних нестисних рівнянь Ейлера, а також формалізації доказів у Lean. У заяві, опублікованій разом із препринтами, Бакмейстер також розповідає про контакти з OpenAI, у яких, за його словами, компанія повідомила, що внутрішня модель створила приблизно 100‑сторінковий доказ вибуху за скінчений час для примусового рівняння Нав’є‑Стокса — напрямок одного з мільйонних преміальних завдань Інституту Клея. Офіційна сторінка завдання Клея і надалі вказує, що проблема існування та гладкості розв’язків Нав’є‑Стокса залишилася нерозв’язаною. На момент 8 вересня 2026 р. OpenAI не опублікувала жодного оголошення про такий результат на своїй новинній сторінці, і Бакмейстер зазначає, що не бачив цього доказу.

Опубліковані результати

Препринти продовжують програму Дієго Кордови та Луїса Мартінез‑Зороа щодо гладкого збурення у трьох модельних рівняннях. Стаття про Ейлера конструює вибух за скінчений час для нестисних рівнянь Ейлера у тривимірному просторі з силою, яка залишається гладкою в просторі та часі до і включно з моментом вибуху. Початкова швидкість гладка, осесиметрична, має ненульовий оберт і нульову меридіальну складову, і підтримується у фіксованому твердому торусі; норми вихору та градієнту циркуляції прямують до нескінченності у кінцевий момент, а розв’язок залишається гладким і унікальним у зазначеному класі скінченої енергії на будь‑якому попередньому замкнутому інтервалі. У статті описується, що ця конструкція є продовженням програми Кордови‑Мартінез‑Зороа щодо формування сингулярностей через взаємодіючі шари на послідовно менших масштабах.

Стаття про Буссінеська доводить вибух за скінчений час для безв’язкої системи Буссінеська на площині при гладкому збуренні в обох рівняннях, починаючи з гладкої компактно‑підтримуваної початкової температури та нульової початкової швидкості. Температура залишається обмеженою, тоді як норма її градієнту прямує до нескінченності, а норма вихору має нескінченний limsup; обидві сили залишаються гладкими у всіх змішаних похідних на закритому часовому інтервалі і підтримуються в одному фіксованому кулі. Стаття про IPM, співавтором якої є Матеї П. Койкулеску, доводить вибух за скінчений час для рівняння пористого середовища на двовимірному торусі при рівномірно просторно‑часово гладкій силі, розширюючи попередній результат Кордови‑Мартінез‑Зороа, у якому збурення було гладким лише в просторі.

Усі три роботи були перевірені у системі доведень Lean, а автори розмістили формалізації у публічному репозиторії, який містить окремі модулі вибуху для Ейлера та Буссінеська. У своїй заяві Бакмейстер пише, що він і Альпоге також вважають, що мають доказ вибуху для гіпо‑дисипативного Нав’є‑Стокса, проте не публікують цю статтю, оскільки її перевірка у Lean ще не завершена і немає готового викладеного варіанту.

LLM у доказах

Автори відкрито повідомляють про інтенсивне використання великих мовних моделей протягом усього проєкту. У статті про IPM зазначається, що автори використовували Claude від Anthropic для ідентифікації ключових елементів попереднього доказу Кордови‑Мартінез‑Зороа та відтворення його аргументації, а також Claude і Codex від OpenAI для написання основної частини тексту, делегуючи моделям підрахунок індуктивних порядків і констант під їхнім керівництвом; вступ був написаний зазначеними авторами. У заяві про Буссінеська зазначається, що пара отримала своє перше рішення про вибух 15 серпня 2026 р., а Lean‑перевірка була завершена 22 серпня 2026 р., і що вони ітеративно доповнювали тексти за допомогою Claude та Codex, пізніше використовуючи моделі під назвою 5.6 Sol і Astra, останню лише для написання текстів і аудиту аргументів. Бакмейстер у своїй заяві каже, що перший LLM‑згенерований доказ, який Альпоге надіслав йому, був «найжахливіший, який я коли‑небудь читав», а заяву про Буссінеська називає «найгіршим, який автори коли‑небудь бачили в математиці». Бакмейстер описує випущений документ про Ейлера як ближчий до виходу моделі під людським керівництвом, ніж до статті, написаної людиною, вибачаючись за його оформлення і посилаючись на зовнішній тиск, який прискорив публікацію.

Бакмейстер зазначає, що співпраця була суто особистою, без будь‑яких інституційних угод чи офіційного залучення роботодавців, і що він оплатив інструменти, включаючи значний рахунок OpenAI, зі своїх власних дослідницьких фондів. Він приписує базові ідеї програми Кордові та Мартінез‑Зороа, зазначаючи, що пара протягом кількох років досліджувала примусові конструкції вибуху, і, на його думку, Мартінез‑Зороа заслуговує на премію Фелдса.

Суперечливі контакти

Друга половина заяви Бакмейстера описує події, що розпочалися 3 вересня 2026 р., коли, у зв’язку з чутками про те, що Anthropic вирішила важливу відкриту проблему, він надіслав електронний лист математику в OpenAI, щоб уточнити, що робота є особистою співпрацею і буде незабаром опублікована. Він пише, що після запиту про перенесення зустрічі його запросили на 6 вересня, і що він і математик, у супроводі Себастіана Бубека з OpenAI, спілкувалися двічі того дня без присутності Альпоге.

Під час цих дзвінків, за словами Бакмейстера, йому повідомили, що внутрішня модель OpenAI створила доказ вибуху за скінчений час для примусового рівняння Нав’є‑Стокса, який існує як у тривимірному евклідовому просторі, так і на тривимірному торусі, і що збурення є гладким за двома з варіантів, зазначених у офіційній формулціях Чарльза Феффермана щодо завдання Клея. Він згадує, що доказ налічував близько 100 сторінок і що «дуже мало людського внеску» було використано — це спостереження розвіялося під час розмови, коли виявилося, що команда працювала над проблемою, спочатку застосовувала модель до простіших завдань, включаючи Ейлера, і навіть сформувала показовий запит, підказуючи Codex. Бакмейстер зазначає, що врешті‑решт погодилися, що перший запит був надісланий за кілька днів до цього, після того як інформація про їхню роботу дійшла до OpenAI. Коли він запитав, чи модель була навчена на їхніх сесіях Codex, у яких вони розміщували усі чернетки проєкту, йому сказали, що модель не шукає дані користувачів; на питання про навчання він отримав відповідь: «Я не отримав відповіді».

Бакмейстер описує два пропозиції, які, за його словами, були йому пред’явлені: або пара опублікує свій результат щодо Ейлера, а OpenAI розмістить свій результат щодо Нав’є‑Стокса наступного дня, або Бакмейстер сам напише статтю про Нав’є‑Стокса, визнаючи, що внутрішня модель OpenAI його вирішила. Він пише, що Бубек двічі наголошував, що хоче виключити Альпоге зі списку авторів, посилаючись на його зайнятість в Anthropic, і що, за словами OpenAI, після публікації вони б відзначили пару як гідних премії Клея та як «найближчих людей до проблеми». Бакмейстер відхилив обидві пропозиції і заявив, що публікує інформацію, якщо OpenAI випустить результат у зазначений спосіб; він цитує відповідь: «Чому ви зруйнуєте свою кар’єру?», а після свого запитання, чому публікація зруйнує його кар’єру, отримав: «Якщо ви не хочете, щоб я був ввічливим, то я не зобов’язаний бути ввічливим».

Бакмейстер чітко зазначає, чого він не стверджує: він не бачив доказу OpenAI, не знає, що саме модель зробила і як, і не знає, чи були використані дані пари. «Я нікого не звинувачую», — пише він. «Я лише повідомляю, що мені сказали, коли це сказали і що мені пропонували». Він додає, що якщо модель OpenAI дійсно закрила розрив до Нав’є‑Стокса, «це надзвичайна подія, і це слід гучно заявити, ними, з урахуванням історії».

Мільйонна премія Міленіум від Інституту Клея, згідно з формулюванням Феффермана, вимагає доведення, що або гладкі розв’язки тривимірних рівнянь Нав’є‑Стокса існують для всього часу, або що вони розпадаються за скінчений час; опубліковані препринти стосуються примусових рівнянь Ейлера, Буссінеська та IPM, у яких відсутній в’язкий член, що розрізняє їх від Нав’є‑Стокса.