นักวิจัยของ Microsoft และผู้ร่วมงานพิสูจน์ข้อคาดการณ์ KLS ที่มีอายุ 31 ปี

Microsoft Research ประกาศเมื่อวันที่ 21 ตุลาคม 2026 ว่า Xinzhi Zhang นักวิจัยอาวุโสในกลุ่ม Machine Learning and Optimization ของบริษัท และ Zhao Song ผู้ร่วมงาน ได้พิสูจน์ข้อคาดการณ์ Kannan–Lovász–Simonovits ซึ่งเป็นปัญหาในเรขาคณิตมิติสูงและทฤษฎีความน่าจะเป็นที่มีอายุ 31 ปี โดยใช้กระบวนการวิจัยแบบเอเจนต์ AI ที่มนุษย์เป็นผู้กำหนดทิศทาง

ข้อคาดการณ์และขอบเขตใหม่

ผลพิสูจน์ปรากฏในบทความความยาว 140 หน้าเรื่อง ขอบเขต O(1) สำหรับค่าคงที่ KLS ซึ่งระบุชื่อ Zhao Song และ Xinzhi Zhang เป็นผู้เขียน โดยส่งให้ arXiv ครั้งแรกเมื่อวันที่ 1 ตุลาคม 2026 และปรับปรุงเมื่อวันที่ 4 ตุลาคม 2026 โดย Zhang เป็นผู้ส่งบทความ บทคัดย่อระบุว่าผู้เขียนพิสูจน์ได้ว่าค่าคงที่ KLS ψ_n มีขอบเขตบนเป็นค่าคงที่สากล C ซึ่งเป็นการคลี่คลายข้อคาดการณ์ดังกล่าว และยังพิสูจน์ขอบเขตสากลของค่าคงที่ Poincaré สำหรับทุกการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบล็อกเว้าและไอโซทรอปิกด้วย

ในเชิงคณิตศาสตร์ ข้อคาดการณ์นี้เสนอขึ้นในปี 1995 โดยตั้งคำถามว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบล็อกเว้าและไอโซทรอปิกทุกแบบบนปริภูมิมิติ n มีค่าคงที่ Cheeger ที่มีขอบเขตล่างเป็นค่าบวกสากลหรือไม่ หากอธิบายให้ง่ายขึ้นตามโพสต์ของ Microsoft Research ก็คือ สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นมิติสูงกลุ่มใหญ่ การตัดด้วยระนาบหรือไฮเปอร์เพลนที่ดีที่สุดจะมีประสิทธิภาพใกล้เคียงกับการตัดที่ดีที่สุดในรูปทรงใด ๆ เสมอ โดยประสิทธิภาพของทั้งสองแบบต่างกันไม่เกินค่าคงที่สากล ไม่ว่าจำนวนมิติจะเป็นเท่าใด เนื่องจากเรขาคณิตของแนวตัดเหล่านี้กำหนดว่าการเดินสุ่มจะสำรวจการแจกแจงได้รวดเร็วเพียงใด ข้อคาดการณ์นี้จึงมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างมิติสูง

ก่อนผลงานชิ้นนี้ ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดที่ทราบคือบทความความยาว 21 หน้าเรื่อง ค่าคงที่ KLS มีขอบเขต O(log^{1/4} n) โดย Brayden Letwin ซึ่งส่งเมื่อวันที่ 27 กรกฎาคม 2026 บทความดังกล่าวพิสูจน์ว่า ψ_n มีค่าไม่เกินค่าคงที่คูณ log^{1/4} n โดยโพสต์ของ Microsoft Research ระบุว่าขอบเขตนี้ยังคงเพิ่มขึ้นอย่างช้า ๆ เมื่อจำนวนมิติเพิ่มขึ้น ส่วนผลงานใหม่นี้ให้ขอบเขตคงที่ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงตามมิติ

ความสำคัญของข้อคาดการณ์นี้ได้รับการยอมรับมานานก่อนที่จะมีการพิสูจน์ โพสต์ระบุว่า รายงานประจำปี 2017–18 ของ Mathematical Sciences Research Institute เรียก KLS ว่าเป็นปัญหาเปิดสำคัญประการหนึ่งในเรขาคณิตนูนมิติสูง ขณะที่ Simons Institute ระบุว่าเป็นหนึ่งในปัญหาเปิดที่สำคัญที่สุดในเรขาคณิตนูน และ Ronen Eldan กล่าวถึงนัยสำคัญในวงกว้างของปัญหานี้ไว้ในเอกสารการประชุม International Congress of Mathematicians ปี 2022

กระบวนการวิจัยแบบเอเจนต์ที่มนุษย์กำหนดทิศทาง

ตามที่โพสต์ระบุ ผู้เขียนเริ่มต้นด้วยการพยายามปรับปรุงผลลัพธ์จากเดือนกรกฎาคม 2026 ผ่านกระบวนการที่มีโครงสร้างและมนุษย์เป็นผู้กำหนดทิศทาง โดยทำงานร่วมกับเอเจนต์ AI พวกเขาสำรวจแนวทางที่เป็นไปได้มากกว่า 100 แนวทาง ซึ่งหลายแนวทางเกี่ยวข้องกับการคำนวณที่ยืดยาวโดยใช้เทนเซอร์อันดับสูง และสร้างเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ใหม่ซึ่งกลายเป็นรากฐานของผลพิสูจน์ฉบับสมบูรณ์

จากนั้นผู้เขียนพบว่าสามารถนำเกณฑ์ดังกล่าวไปใช้ซ้ำแบบเวียนเกิดได้ โดยนำขอบเขตที่ปรับปรุงแล้วในแต่ละรอบกลับเข้าสู่ข้อพิสูจน์เดิมเพื่อให้ได้ขอบเขตที่แน่นยิ่งขึ้น ในบทความฉบับวันที่ 1 ตุลาคม 2026 วิธีนี้ลดการขึ้นต่อมิติลงเหลือเพียงลอการิทึมซ้อน ซึ่งเพิ่มขึ้นช้ามาก แต่ยังคงเพิ่มตามมิติ จึงยังไม่สามารถคลี่คลายข้อคาดการณ์ได้ ขั้นตอนสุดท้ายคือการทำซ้ำกระบวนการปรับปรุงแบบเวียนเกิดทั้งหมด แทนที่จะใช้เพียงครั้งเดียว โดยโพสต์ระบุว่าแนวคิดนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากผลงานก่อนหน้าของผู้เขียนเกี่ยวกับอัลกอริทึมแบบเร็วสำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ผู้เขียนพิสูจน์ว่าความคลาดเคลื่อนเล็กน้อยที่เกิดขึ้นในแต่ละขั้นลดลงเร็วพอที่จะทำให้ผลรวมของความคลาดเคลื่อนยังคงมีขอบเขตเป็นค่าคงที่สากลซึ่งไม่ขึ้นกับมิติ จึงทำให้ผลพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์ในบทความฉบับวันที่ 4 ตุลาคม 2026

โพสต์ระบุว่า วิธีแบบเวียนเกิด การนำวิธีนี้มาใช้ซ้ำ และข้อพิสูจน์ที่แสดงว่าความคลาดเคลื่อนมีขอบเขต ล้วนเป็นผลงานริเริ่มของนักวิจัย เครื่องมือ AI ช่วยสำรวจแนวทางที่เป็นไปได้ ดำเนินการอนุมานโดยละเอียด จัดทำต้นฉบับ และตรวจสอบผลพิสูจน์ภายใน ขณะที่นักวิจัยเป็นผู้กำหนดทิศทางทางคณิตศาสตร์ เลือกแนวคิดที่มีแวว นำแนวคิดเหล่านั้นมาประกอบเป็นข้อพิสูจน์ฉบับสมบูรณ์ และตรวจสอบผลพิสูจน์ โพสต์อธิบายวิธีการนี้ว่าเป็นการค้นหาแบบใช้เอเจนต์ร่วมกับการคัดทิ้งแนวทางซ้ำ ๆ โดยมีมนุษย์ช่วยเหลือ กล่าวคือ ขณะที่เอเจนต์หลายตัวสำรวจแนวทางต่าง ๆ ของแนวคิดหนึ่งไปพร้อมกัน นักวิจัยจะตรวจสอบผลลัพธ์ระหว่างทาง ตัดแนวทางที่ไม่มีแววออก และส่งผลลัพธ์ที่มีแนวโน้มดีที่สุดไปยังรอบถัดไป มีการสำรวจแนวทางการวิจัยประมาณหนึ่งร้อยแนวทางก่อนจะเกิดความก้าวหน้าครั้งสำคัญ

ในอีกแนวทางหนึ่งของโครงการ ผู้เขียนพยายามแก้ปัญหาเดียวกันซ้ำหลายครั้งโดยไม่มีการชี้นำ ด้วยโมเดล AI ชั้นนำหลายแบบ และใช้งบประมาณโทเคนรวมใกล้เคียงกับกระบวนการหลัก โดยโพสต์รายงานว่าความพยายามนี้ยังไม่บรรลุเป้าหมาย โพสต์ระบุว่าความสำเร็จที่เกิดขึ้นในที่สุดต้องอาศัยทั้งขีดความสามารถของระบบ AI และวิจารณญาณทางคณิตศาสตร์ของนักวิจัย โพสต์ขอบคุณ Song สำหรับผลงานที่มีต่อการวิจัยนี้ รวมถึง Victor Reis และ Ishai Menache สำหรับการร่วมอภิปรายตลอดโครงการ

ผลพิสูจน์อิสระและการตรวจสอบด้วยเครื่อง

เมื่อวันที่ 4 ตุลาคม 2026 ซึ่งเป็นวันเดียวกับที่มีการเผยแพร่บทพิสูจน์ฉบับสมบูรณ์ Pierre Bizeul, Boaz Klartag และ Joseph Lehec ได้เผยแพร่บทพิสูจน์ความยาว 32 หน้า ซึ่งพัฒนาขึ้นควบคู่กันมาในชื่อ “นำเสนอการพิสูจน์ข้อคาดการณ์ Kannan-Lovász-Simonovits” บทคัดย่อของบทความระบุว่า “ขั้นตอนสำคัญของบทพิสูจน์คือเกณฑ์ล่าสุดจาก Song และ Zhang ซึ่งเกี่ยวข้องกับอนุพันธ์อันดับสูงของค่าเฉลี่ยแบบเอียง” ส่วนหมายเหตุใน arXiv ระบุว่าบทความมีหนึ่งย่อหน้าที่กล่าวถึงการใช้ AI บทคัดย่อยังกล่าวถึง KLS ควบคู่กับปัญหาการตัดแบ่งของ Bourgain และข้อคาดการณ์เกี่ยวกับความแปรปรวน ในฐานะแรงขับเคลื่อนความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้านเรขาคณิตมิติสูงในช่วงหลายทศวรรษที่ผ่านมา

Krishnakumar Balasubramanian และ Shiva Kasiviswanathan เผยแพร่บทพิสูจน์อีกฉบับในชื่อ ขอบเขตที่ไม่ขึ้นกับมิติของค่าคงที่ปวงกาเรสำหรับมาตรวัดไอโซทรอปิกแบบลอการิทึมเว้า โดยส่งบทความครั้งแรกเมื่อวันที่ 6 ตุลาคม 2026 และแก้ไขเมื่อวันที่ 8 ตุลาคม 2026 บทคัดย่ออธิบายว่าเป็นบทพิสูจน์เชิงแปรผันแบบกำหนดแน่นอน ซึ่งให้ขอบเขตอย่างชัดเจนที่ 25 สำหรับค่าคงที่ปวงกาเรของมาตรวัดความน่าจะเป็นแบบไอโซทรอปิกและลอการิทึมเว้าทุกมาตรวัด

ต่อมามีการทำให้บทพิสูจน์เป็นรูปแบบทางการด้วย Lean 4 ในชื่อ KLS500 โดยทำให้ค่าคงที่ปวงกาเรที่ไม่ขึ้นกับมิติและมีค่าไม่เกิน 500 เป็นรูปแบบทางการสำหรับกฎความน่าจะเป็นแบบไอโซทรอปิกและลอการิทึมเว้าทุกกรณี ตามข้อมูลในคลังโค้ด การพัฒนานี้อาศัยแนวทางคิวมูแลนต์และการแขวนของ Bizeul, Klartag และ Lehec เป็นหลัก โดยผสานเกณฑ์แบบเอียง–สเปกตรัมของ Song และ Zhang เข้าด้วย และการตรวจสอบได้สร้างโมดูลทางคณิตศาสตร์ขึ้นใหม่ 1,710 โมดูล โดยมีระดับความเชื่อถือของเคอร์เนลเป็นศูนย์ นอกจากนี้ Lean ยังตรวจสอบผ่านสำหรับข้อความข้อคาดการณ์ KLS ฉบับตรงตามที่ OpenAI กำหนด โดยใช้ค่าคงที่ปวงกาเรสากล 500 โครงการนี้เผยแพร่ภายใต้สัญญาอนุญาต Apache 2.0

โพสต์ของ Microsoft Research ระบุว่าการมีบทพิสูจน์อย่างอิสระหลายฉบับเป็นหนึ่งในรูปแบบการตรวจสอบความถูกต้องที่หนักแน่นที่สุดในคณิตศาสตร์ เพราะแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ไม่ได้อาศัยแนวทางการให้เหตุผลเพียงสายเดียว เมื่อข้อคาดการณ์ได้รับการพิสูจน์แล้ว ผลลัพธ์ที่ก่อนหน้านี้ต้องอาศัยข้อคาดการณ์ดังกล่าวเป็นสมมติฐานก็สามารถระบุได้โดยไม่มีเงื่อนไขอีกต่อไป ตามที่โพสต์ระบุ ผู้เขียนได้ย่อบทพิสูจน์และตรวจสอบข้อโต้แย้งฉบับกระชับด้วย Lean แล้ว โดยโพสต์รายงานว่าพวกเขาวางแผนจะเผยแพร่ทั้งสองอย่างหลังจากตรวจทานขั้นสุดท้าย