Buckmaster och Alpöge publicerar AI‑flytande‑blowup‑bevis, bestrider OpenAI‑kontakt

NYU‑matematiker Tristan Buckmaster och Anthropic‑forskare Levent Alpöge har offentligt publicerat tre preprintar som etablerar ändlig‑tids‑blowup med slät pådrivning för den inkompressibla porösa mediekvationen, det tvådimensionella Boussinesq‑systemet och de tre‑dimensionella inkompressibla Eulervinklingarna, tillsammans med Lean‑formaliseringar av bevisen. I ett uttalande som publicerades tillsammans med preprintarna återger Buckmaster även kontakter med OpenAI där, skriver han, företaget berättade att en intern modell hade producerat ett ungefär 100‑sidigt bevis på ändlig‑tids‑blowup för de pådrivna Navier–Stokes‑ekvationerna — ett av Clay Mathematics Institutes Millennium‑priskategorier. Clays officiella problemsida listar fortfarande Navier–Stokes‑existens‑ och släthetsproblemet som olöst. OpenAI hade inte publicerat något meddelande om ett sådant resultat på sin nyhetssida per den 8 september 2026, och Buckmaster uppger att han inte har sett beviset.

De publicerade resultaten

Preprintarna bygger på Diego Córdoba och Luis Martínez‑Zoroas blowup‑program för slät pådrivning över tre modell‑ekvationer. Euler‑papperet konstruerar en ändlig‑tids‑singularitet för de inkompressibla Eulervinklingarna i tre‑dimensionellt rum med en kraft som förblir slät i både rum och tid fram till och med blowup‑tiden. Den initiala hastigheten är slät, axi‑symmetrisk med icke‑noll svängning och noll meridional komponent, och stödjs i en fast solid torus; vorticitets‑ och cirkulations‑gradientnormerna går mot oändlighet vid sluttiden, och lösningen förblir slät och unik i en angiven ändlig‑energi‑klass på varje tidigare sluten intervall. Pappret beskriver konstruktionen som en fortsättning på Córdoba–Martínez‑Zoroa‑programmet om singularitetsbildning genom interagerande lager på successivt mindre skalor.

Boussinesq‑pappret bevisar ändlig‑tids‑blowup för det oskadade Boussinesq‑systemet på planet med slät pådrivning i båda ekvationerna, från slät kompakt stödjande initial temperatur och noll initial hastighet. Temperaturen förblir begränsad medan dess gradientnorm går mot oändlighet och vorticitetsnormen har oändligt limsup, med båda krafterna släta i varje blandad derivata på det slutna tidsintervallet och stödjda i en fast boll. IPM‑pappret, dessutom medförfattat av Matei P. Coiculescu, bevisar ändlig‑tids‑blowup för den inkompressibla porösa mediekvationen på den två‑dimensionella torusen med en jämnt rum‑tid‑slät kraft, vilket utvidgar ett tidigare Córdoba–Martínez‑Zoroa‑resultat vars pådrivning endast var slät i rummet.

Alla tre arbeten verifierades i Lean‑bevisassistenten, och författarna lade upp formaliseringskoderna på ett offentligt arkiv som innehåller separata Euler‑ och Boussinesq‑blowup‑moduler. I sitt uttalande skriver Buckmaster att han och Alpöge också tror att de har ett blowup‑resultat för hypodissipativ Navier–Stokes men att de inte publicerar papperet eftersom Lean‑verifieringen ännu inte är färdig och ingen presentabel skrivelse finns.

LLM:er i bevisen

Författarna avslöjar tung användning av stora språkmodeller genom hela projektet. IPM‑pappret anger att författarna använde Anthropics Claude för att identifiera nyckelelement i det tidigare Córdoba–Martínez‑Zoroa‑beviset och återskapa dess argument, samt använde Claude och OpenAIs Codex för att skriva huvudtexten, medan de delegerade bokföring av induktiva ordningar och konstanter till modellerna under författarnas ledning; introduktionen skrevs av de listade författarna. Boussinesq‑papprets AI‑uttalande rapporterar att paret fick sin första blowup‑lösning den 15 augusti 2026 och Lean‑verifierade den den 22 augusti 2026, och att de itererade på skrivningarna med Claude och Codex, senare med modellerna 5.6 Sol och Astra, där Astra endast användes för skrivningar och granskning av argument. Buckmasters uttalande säger att den första LLM‑genererade beviset Alpöge skickade honom var ”det mest fruktansvärda jag någonsin läst”, och Boussinesq‑AI‑uttalandet kallar den första modell‑producerade skrivningen för den värsta de någonsin sett inom matematik. Buckmaster beskriver den släppta Euler‑skrivningen som närmare modelloutput under mänsklig styrning än ett mänskligt skrivet papper, och ber om ursäkt för dess presentation samt hänvisar till yttre påtryckningar för den accelererade publiceringen.

Buckmaster skriver att samarbetet var helt personligt, utan institutionella avtal eller officiellt engagemang från någon av arbetsgivarna, och att han själv betalade för verktygen, inklusive en stor OpenAI‑räkning, ur sina egna forskningsmedel. Han ger erkännande för programmets grundidéer till Córdoba och Martínez‑Zoroa, och skriver att paret hade utforskat pådrivna blowup‑konstruktioner i flera år och att, enligt hans uppfattning, Martínez‑Zoroa förtjänar ett Fields‑medalj.

De omtvistade kontakterna

Den senare delen av Buckmasters uttalande är hans redogörelse för händelserna som började den 3 september 2026, när han, efter ett rykte om att Anthropic hade löst ett stort öppet problem, mejlade en matematiker på OpenAI för att klargöra att arbetet var ett personligt samarbete och skulle publiceras inom kort. Han skriver att efter att ha begärt ett senare möte, blev han ombedd att träffas den 6 september, och att han och matematikern, tillsammans med OpenAIs Sébastien Bubeck, samtalade två gånger samma eftermiddag utan att Alpöge var närvarande.

Under dessa samtal, skriver Buckmaster, fick han information om att en intern OpenAI‑modell hade producerat ett bevis på ändlig‑tids‑blowup för de pådrivna Navier–Stokes‑ekvationerna, med existens både i tre‑dimensionellt euklidiskt rum och på tre‑torusen, och att pådrivningen var slät under två av alternativen i Charles Feffermans officiella formulering av Clay‑problemet. Han återger att beviset omfattade omkring 100 sidor och att ”mycket lite mänskligt input” hade använts — en beskrivning som, enligt honom, föll sönder under samtalet när det framkom att ett team hade arbetat med problemet, först ställt modellen på enklare uppgifter inklusive Euler, och till och med skrivit den visade prompten genom att prompta Codex. Buckmaster skriver att det så småningom kom överenskommelse om att den första prompten hade skickats de föregående dagarna, efter att information om parets arbete nått OpenAI. När han frågade om modellen hade tränats på eller hade åtkomst till deras Codex‑sessioner, där de hade lagt alla projektets utkast, fick han svar att modellen inte söker upp användardata; på frågan om träning svarade han, ”Jag fick inget svar.”

Buckmaster beskriver två förslag som han säger att de framfördes för honom: att paret skulle publicera sitt Euler‑resultat med OpenAI som publicerade sitt Navier–Stokes‑resultat dagen därpå, eller att Buckmaster ensam skulle skriva ett papper som presenterade Navier–Stokes‑resultatet samtidigt som han erkände att en intern OpenAI‑modell hade löst det. Han skriver att Bubeck två gånger hävdade att han ville att Alpöge skulle tas bort från författarskapet, med hänvisning till Alpöges anställning hos Anthropic, och att det sades att OpenAI, om de publicerade efter paret, skulle kreditera dem som förtjänta av Clay‑priset och som de ”närmsta människorna till problemet”. Buckmaster skriver att han avböjde båda erbjudandena och sade att han skulle gå offentligt om OpenAI släppte resultatet enligt förslaget; han återger svaret, ”Varför skulle du förstöra din karriär?” följt, efter att han frågat varför ett offentligt avslöjande skulle förstöra hans karriär, av ”Om du inte vill att jag ska vara vänlig, så behöver jag inte vara vänlig.”

Buckmaster klargör tydligt vad han inte påstår: han har inte sett OpenAIs bevis, han vet inte vad modellen gjorde eller hur, och han vet inte om parets data användes. ”Jag anklagar ingen för något,” skriver han. ”Jag återger vad jag fick veta, när, och vad som föreslogs för mig.” Han tillägger att om en OpenAI‑modell hade stängt gapet till Navier–Stokes, ”det är en anmärkningsvärd sak och bör sägas högt, av dem, med historien intakt.”

Clay‑institutets miljon‑dollar‑Miljöpris frågar, i Feffermans formulering, efter ett bevis antingen för att släta lösningar till de tre‑dimensionella Navier–Stokes‑ekvationerna existerar för all tid eller att de bryts ner i ändlig tid; de publicerade preprintarna behandlar de pådrivna Euler‑, Boussinesq‑ och IPM‑ekvationerna, vilka saknar den viskösa term som särskiljer Navier–Stokes.