Buckmaster och Alpöge publicerar AI‑fluid blowup‑bevis, detaljerar OpenAI‑samtal

NYU-matematikern Tristan Buckmaster och Anthropic-forskaren Levent Alpöge har offentligt lagt upp tre preprints som fastställer ändlig‑tids blowup med slät pådrivning för den inkompressibla porösa mediekvationen, det tvådimensionella Boussinesq‑systemet och de tre‑dimensionella inkompressibla Euler‑ekvationerna, tillsammans med Lean‑formaliseringar av bevisen. I ett uttalande som publicerades tillsammans med preprints beskriver Buckmaster också kontakter med OpenAI där, skriver han, företaget meddelade att en intern modell hade producerat ett ungefär 100‑sidigt bevis på ändlig‑tids blowup för de tvingade Navier–Stokes‑ekvationerna — en av de riktningar som ingår i Clay Mathematics Institutes Millennium‑prispussel. Clays officiella problemsida listar fortfarande Navier–Stokes‑existens‑ och släthetsproblemet som olöst. OpenAI hade inte publicerat någon nyhetsmeddelande om ett sådant resultat på sin nyhetssida den 8 september 2026, och Buckmaster uppger att han inte har sett beviset.

De publicerade resultaten

Preprintsen bär med sig blowup‑programmet från Diego Córdoba och Luis Martínez‑Zoroa till slät pådrivning över tre modell­ekvationer. Euler‑papperet konstruerar en ändlig‑tids singularitet för de inkompressibla Euler‑ekvationerna i tre‑dimensionellt rum med en kraft som förblir slät i både rum och tid fram till och med blowup‑tiden. Den initiala hastigheten är slät, axi‑symmetrisk med icke‑noll virvel och noll meridional komponent, och är stöd i en fast solid torus; vorticitets‑ och cirkulations‑gradientnormerna tenderar mot oändligheten vid den sista tiden, och lösningen förblir slät och unik i en angiven ändlig‑energi‑klass på varje tidigare sluten intervall. Artikeln beskriver konstruktionen som en fortsättning på Córdoba‑Martínez‑Zoroa‑programmet om singularitetsbildning genom interagerande lager på successivt mindre skalor.

Boussinesq‑papperet bevisar ändlig‑tids blowup för det inviskösa Boussinesq‑systemet på planet med slät pådrivning i båda ekvationerna, från en slät kompakt stödjande initial temperatur och noll initial hastighet. Temperaturen förblir begränsad medan dess gradientnorm tenderar mot oändligheten och vorticitetsnormen har oändlig limsup, med båda krafterna släta i varje blandad derivata på det slutna tidsintervallet och stöd i en fast boll. IPM‑papperet, dessutom medförfattat av Matei P. Coiculescu, bevisar ändlig‑tids blowup för den inkompressibla porösa mediekvationen på den två‑dimensionella torusen med en jämnt rum‑tid slät kraft, och utvidgar ett tidigare Córdoba‑Martínez‑Zoroa‑resultat vars pådrivning bara var slät i rummet.

Alla tre arbeten verifierades i Lean‑bevisassistenten, och författarna lade upp formaliseringskoden till ett offentligt arkiv som innehåller separata Euler‑ och Boussinesq‑blowup‑moduler. I sitt uttalande skriver Buckmaster att han och Alpöge också tror att de har blowup för hypodissipativ Navier–Stokes men att de inte släpper det papperet eftersom Lean‑verifieringen ännu inte är färdig och ingen presenterbar version finns.

LLM‑er i bevisen

Författarna avslöjar omfattande användning av stora språkmodeller under hela projektet. IPM‑papperet anger att författarna använde Anthropics Claude för att identifiera nyckelelement i det tidigare Córdoba‑Martínez‑Zoroa‑beviset och återge dess argumentation, samt använde Claude och OpenAIs Codex för att skriva huvudtexten, där de delegerade bokföring av induktiva ordningar och konstanter till modellerna under författarnas ledning; introduktionen skrevs av de listade författarna. Boussinesq‑papperets AI‑uttalande rapporterar att paret fick sin första blowup‑lösning den 15 augusti 2026, och Lean‑verifierade den den 22 augusti 2026, och att de itererade på manusen med Claude och Codex, senare med modeller benämnda 5.6 Sol och Astra, där den senare endast användes för manus och granskning av argument. Buckmasters uttalande säger att det första LLM‑genererade beviset som Alpöge skickade till honom var “det mest fruktansvärda jag någonsin läst”, och Boussinesq‑AI‑uttalandet kallar det första modellproducerade manuskriptet för det värsta författarna någonsin sett i matematik. Buckmaster beskriver det släppta Euler‑manuset som närmare modellutdata under mänsklig styrning än ett mänskligt skrivet papper, och ber om ursäkt för dess presentation samt hänvisar till yttre press för den påskyndade publiceringen.

Buckmaster skriver att samarbetet var helt personligt, utan institutionella avtal eller officiellt engagemang från någon av arbetsgivarna, och att han betalade för verktyg, inklusive en stor OpenAI‑räkning, av sina egna forskningsmedel. Han ger kredit för programmets grundidéer till Córdoba och Martínez‑Zoroa, och skriver att paret har utforskat tvingade blowup‑konstruktioner i flera år och att, enligt honom, Martínez‑Zoroa förtjänar ett Fields‑medalj.

De omtvistade kontakterna

Den senare delen av Buckmasters uttalande är hans redogörelse för händelser som började den 3 september 2026, när ett rykte cirkulerade om att Anthropic hade löst ett stort öppet problem, och han mailade en matematiker på OpenAI för att klargöra att arbetet var ett personligt samarbete och skulle publiceras inom kort. Han skriver att efter att ha begärt ett senare möte, blev han ombedd att träffas den 6 september, och att han och matematikern, tillsammans med OpenAIs Sébastien Bubeck, talade två gånger samma eftermiddag utan att Alpöge var närvarande.

Under dessa samtal skriver Buckmaster att han fick veta att en intern OpenAI‑modell hade producerat ett bevis på ändlig‑tids blowup för de tvingade Navier–Stokes‑ekvationerna, med existens både i tre‑dimensionellt euklidiskt rum och på tre‑torusen, och att pådrivningen var slät enligt två av alternativen i Charles Feffermans officiella uttalande om Clay‑problemet. Han återger att han fick höra att beviset var omkring 100 sidor långt och att “mycket lite mänsklig input” hade använts — en beskrivning som han säger upplöstes under samtalet när det framkom att ett team hade arbetat med problemet, först satt modellen på enklare problem inklusive Euler, och till och med skrev den visade prompten genom att prompta Codex. Buckmaster skriver att man så småningom kom överens om att den första prompten hade skickats de föregående dagarna, efter att information om parets arbete nått OpenAI. När han frågade om modellen hade tränats på eller hade tillgång till deras Codex‑sessioner, där de hade placerat alla projektets utkast, fick han svar att modellen inte söker upp användardata; på träningsfrågan skriver han: “Jag fick inget svar.”

Buckmaster beskriver två förslag som han säger att han fick: att paret publicerade sitt Euler‑resultat med OpenAI som publicerade sitt Navier–Stokes‑resultat dagen därpå, eller att Buckmaster ensam skrev ett papper som presenterade Navier–Stokes‑resultatet samtidigt som han erkände att en intern OpenAI‑modell hade löst det. Han skriver att Bubeck två gånger påstod att han ville ha Alpöge borttagen från författarskapet, med hänvisning till Alpöges anställning hos Anthropic, och att det sades att OpenAI, om de publicerade efter paret, skulle ge dem erkännande som förtjänta av Clay‑priset och som de “närmaste människorna till problemet”. Buckmaster skriver att han avböjde båda erbjudandena och sade att han skulle gå offentligt om OpenAI släppte resultatet enligt förslaget; han återger svaret, “Varför skulle du förstöra din karriär?” följt, efter att han frågat varför ett offentligt avslöjande skulle förstöra hans karriär, av “Om du inte vill att jag ska vara trevlig, så behöver jag inte vara trevlig.”

Buckmaster förklarar tydligt vad han inte påstår: han har inte sett OpenAIs bevis, vet inte vad modellen gjorde eller hur, och vet inte om parets data användes. “Jag anklagar ingen för något,” skriver han. “Jag redogör för vad jag fick höra, när, och vad som föreslogs för mig.” Han tillägger att om en OpenAI‑modell faktiskt har överbryggat klyftan till Navier–Stokes, “är det en anmärkningsvärd sak och det bör sägas högt, av dem, med historien intakt.”

Clay‑institutets miljon‑dollar Millennium‑pris kräver, i Feffermans formulering, ett bevis antingen för att släta lösningar till de tre‑dimensionella Navier–Stokes‑ekvationerna existerar för all tid eller att de bryts ner i ändlig tid; de publicerade preprints behandlar de tvingade Euler‑, Boussinesq‑ och IPM‑ekvationerna, som saknar den viskösa term som särskiljer Navier–Stokes.