Дослідник Microsoft і його співавтор довели гіпотезу KLS, якій 31 рік

Microsoft Research оголосила 21 жовтня 2026 року, що Сіньчжи Чжан, старший науковий співробітник її групи машинного навчання й оптимізації, та його співавтор Чжао Сун довели гіпотезу Каннана—Ловаса—Сімоновіца — задачу з геометрії високих вимірностей і теорії ймовірностей, над якою працювали 31 рік, — за допомогою дослідницького процесу з агентним ШІ під керівництвом людини.

Гіпотеза та нова оцінка

Доведення викладено у 140-сторінковій статті Обмеження O(1) для константи KLS авторства Чжао Суна та Сіньчжи Чжана, уперше поданій до arXiv 1 жовтня 2026 року й оновленій 4 жовтня 2026 року; автором, який подав статтю, був Чжан. В анотації зазначено, що автори доводять: константа KLS ψ_n обмежена зверху універсальною константою C, чим розв’язують гіпотезу. Також вони встановлюють універсальну верхню межу для константи Пуанкаре кожної ізотропної лог-увігнутої ймовірнісної міри.

Формально гіпотеза, сформульована 1995 року, запитує, чи має кожна ізотропна лог-увігнута ймовірнісна міра в n-вимірному просторі константу Чігера, обмежену знизу універсальною додатною константою. Простіше кажучи, як пояснюється в дописі Microsoft Research, ідеться про те, чи є для широкого класу багатовимірних імовірнісних розподілів найкращий плоский розріз, або розріз гіперплощиною, завжди майже таким само ефективним, як найкращий розріз будь-якої форми, причому різниця між ними не перевищує універсальної константи незалежно від кількості вимірів. Оскільки геометрія таких розрізів визначає, як швидко випадкові блукання можуть досліджувати розподіл, ця гіпотеза посідає центральне місце в теорії вибірки у просторах високих вимірностей.

До цієї роботи найкращим відомим результатом була 21-сторінкова стаття Константа KLS — O(log^{1/4} n) Брейдена Летвіна, подана 27 липня 2026 року. У ній було встановлено, що ψ_n не перевищує константу, помножену на log^{1/4} n. Як зазначає допис Microsoft Research, ця межа все ж повільно зростала зі збільшенням кількості вимірів. У новій роботі отримано фіксовану межу, яка не залежить від розмірності.

Важливість цієї гіпотези визнавали задовго до її розв’язання. У дописі зазначено, що в річному звіті Mathematical Sciences Research Institute за 2017–18 роки гіпотезу KLS названо центральною відкритою проблемою в опуклій геометрії високих вимірностей; Simons Institute охарактеризував її як одну з найважливіших відкритих проблем в опуклій геометрії; а Ронен Елдан наголосив на її широких наслідках у матеріалах Міжнародного конгресу математиків 2022 року.

Дослідницький процес із агентним ШІ під керівництвом людини

За словами авторів допису, спочатку дослідники взялися вдосконалити результат, отриманий у липні 2026 року. У межах структурованого процесу під керівництвом людини, із залученням ШІ-агентів, вони розглянули понад 100 можливих підходів — багато з них передбачали тривалі обчислення з тензорами вищих порядків — і сформулювали новий математичний критерій, який ліг в основу остаточного доведення.

Згодом автори виявили, що цей критерій можна застосовувати рекурсивно: кожну поліпшену межу підставляти назад у той самий аргумент, щоб отримати ще точнішу. У версії статті від 1 жовтня 2026 року це дало змогу звести залежність від розмірності до ітерованого логарифма, який зростає надзвичайно повільно, але все ж збільшується разом із розмірністю, тож гіпотезу ще не було розв’язано. Останнім кроком стало повторення всього рекурсивного уточнення, а не одноразове його застосування. Як зазначено в дописі, цю ідею підказала попередня робота авторів над швидкими алгоритмами лінійного програмування. Автори довели, що малі похибки, які виникають на кожному етапі, достатньо швидко зменшуються, тож їхня сума залишається обмеженою універсальною константою, незалежною від розмірності. Це завершило доведення у версії статті від 4 жовтня 2026 року.

У дописі зазначено, що рекурсивний метод, його багаторазове застосування та аргумент про обмеженість похибки є оригінальним внеском дослідників. Інструменти ШІ допомагали розглядати можливі підходи, виконувати докладні виведення, готувати рукопис і проводити внутрішні перевірки доведення. Водночас дослідники визначали математичний напрям, обирали перспективні ідеї, об’єднували їх у фінальний аргумент і перевіряли доведення. У дописі метод описано як агентний пошук з ітеративним відбором за участю людини: поки кілька агентів паралельно досліджували варіанти певної ідеї, дослідник аналізував проміжні результати, відкидав неперспективні напрямки й передавав найобіцяльніший результат до наступного раунду. До ключового прориву дослідники розглянули близько ста дослідницьких траєкторій.

В окремому напрямі проєкту автори неодноразово намагалися розв’язати ту саму задачу без підказок, використовуючи кілька провідних моделей ШІ та приблизно такий самий сумарний бюджет токенів, як і в основному процесі. За повідомленням у дописі, ці спроби не дали потрібного результату. Зрештою успіху вдалося досягти, як зазначено в дописі, завдяки поєднанню можливостей систем ШІ та математичної інтуїції дослідників. У дописі дякують Суну за його внесок у роботу, а Віктору Рейсу та Ішаю Менахе — за обговорення протягом усього проєкту.

Незалежні доведення та машинна верифікація

4 жовтня 2026 року — того самого дня, коли було оприлюднено повний доказ, — П’єр Бізоль, Боаз Клартаг і Жозеф Лек опублікували незалежно підготовлений 32-сторінковий доказ під назвою «Представляємо доказ гіпотези Каннана—Ловаса—Симоновіца». У анотації до статті зазначено, що «вирішальним кроком у доведенні є нещодавно сформульований критерій Сонга й Чжана, пов’язаний із похідними високих порядків від усереднень зі зсувом», а в коментарях на arXiv вказано, що стаття містить абзац про використання ШІ. В анотації гіпотезу KLS названо поряд із проблемою перерізів Буґена та гіпотезою про дисперсію як одним із чинників розвитку математики у сфері багатовимірної геометрії впродовж останніх десятиліть.

Крішнакумар Баласубраманіан і Шива Касівісванатан опублікували окремий доказ під назвою «Розмірнісно-незалежна оцінка сталої Пуанкаре для ізотропних логарифмічно увігнутих мір». Його вперше подали 6 жовтня 2026 року, а 8 жовтня 2026 року — переглянули. В анотації описано детермінований варіаційний доказ із явною оцінкою 25 для сталої Пуанкаре будь-якої ізотропної логарифмічно увігнутої ймовірнісної міри.

Згодом з’явилася формалізація в Lean 4 під назвою KLS500, у якій формально доведено, що для кожного ізотропного логарифмічно увігнутого ймовірнісного розподілу стала Пуанкаре не перевищує 500 незалежно від розмірності. Згідно з описом у репозиторії, розробка ґрунтується переважно на підході Бізоля, Клартага й Лека, що поєднує кумулянтний метод і метод суспензії, та враховує критерій нахилу й спектра Сонга й Чжана; під час перевірки було повторно зібрано 1 710 математичних модулів із нульовим рівнем довіри до ядра. У Lean також успішно пройшла перевірку точна формалізація гіпотези KLS, визначена OpenAI, із використанням універсальної сталої Пуанкаре 500. Проєкт ліцензовано за Apache 2.0.

У дописі Microsoft Research незалежні докази названо однією з найсильніших форм математичного підтвердження, адже вони показують, що результат не спирається на єдиний ланцюжок міркувань. Як зазначено в дописі, після доведення гіпотези результати, які раніше ґрунтувалися на ній як на припущенні, тепер можна формулювати безумовно. Автори скоротили свій доказ і перевірили його спрощений варіант у Lean; у дописі повідомляється, що після остаточної перевірки вони планують оприлюднити обидва.