ИИ решает проблемы Эрдёша. Что дальше?

Только несколько месяцев назад, вопрос казался в основном философским: если искусственный интеллект может помочь решить открытые математические проблемы, что происходит с идеей человеческого гения?

Этот вопрос больше не является теоретическим. Два недавних развития, связанных с OpenAI и Google DeepMind, предполагают, что ИИ переходит от математического помощника к математическому участнику. Не в смысле замены математиков целиком, а в более точном и важном смысле генерации, поиска, проверки и иногда открытия аргументов, которые могут выдержать экспертную проверку.

Первое развитие произошло в OpenAI, который объявил, что внутренняя модель общего назначения сделала прорыв в задаче плоского единичного расстояния, знаменитой проблеме, поставленной Полем Эрдёшем в 1946 году. Задача заключается в том, чтобы узнать, сколько пар точек в плоскости могут быть ровно в одном единице друг от друга. Десятилетиями преобладало мнение, что квадратные сетчатые конструкции были по сути оптимальными. Модель OpenAI обнаружила новую семью конструкций, которая опровергла это мнение.

Второе развитие произошло у исследователей Google DeepMind, которые опубликовали статью под названием “Развитие математических исследований с помощью формального поиска доказательств, управляемого ИИ”. Их система, AlphaProof Nexus, оценила возможность генерации доказательств ИИ на открытых исследовательских задачах и сообщила, что ее самый сильный агент самостоятельно решил 9 из 353 открытых проблем Эрдёша. Она также доказала 44 из 492 открытых гипотез из Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей.

Вместе эти результаты отмечают сдвиг. Важная история заключается не в том, что ИИ вдруг решил математику. Он не сделал этого. Важная история заключается в том, что системы ИИ начинают работать внутри исследовательского цикла самого по себе.

Почему проблемы Эрдёша являются серьезным тестом для ИИ

Пол Эрдёш был одним из самых плодовитых математиков в истории, и проблемы, связанные с его работой, занимают особое место в математике. Многие из них легко сформулировать, но трудно решить, и они связаны с глубокими областями, такими как комбинаторика, теория чисел, теория графов и дискретная геометрия.

Это делает их необычно полезными в качестве эталона для рассуждений ИИ. Они не являются школьными упражнениями. Они также не всегда являются гигантскими, теоретически-разрушительными гипотезами, такими как гипотеза Римана. Вместо этого многие проблемы Эрдёша находятся в средней земле, где прогресс зависит от нахождения правильной связи, правильной конструкции или правильного забытого леммы.

Именно здесь ИИ может быть наиболее полезен на ранней стадии. Современные системы рассуждений не являются просто калькуляторами. Они могут исследовать многие возможные пути доказательств, сравнивать частичные стратегии, извлекать далекие идеи из соседних областей и проверять, может ли быть сделано строгое доказательство.

Результат OpenAI поражает, потому что модель не просто отполировала известный путь. Она обнаружила неожиданный мост между дискретной геометрией и алгебраической теорией чисел. Это именно тот концептуальный скачок, который математики обычно ассоциируют с настоящей креативностью.

OpenAI и прорыв в единичном расстоянии

Задача плоского единичного расстояния проста в описании. Поместите n точек в плоскость. Посчитайте, сколько пар точек находятся ровно в одном единице друг от друга. Цель состоит в том, чтобы понять, насколько велико это количество может быть при росте n.

Почти 80 лет математики подозревали, что лучшие конструкции не будут существенно превосходить квадратные сетчатые расположения. Модель OpenAI бросила вызов этому предположению, произведя бесконечное количество примеров, которые превосходят ожидаемую границу на полиномиальное улучшение.

Это имеет значение по двум причинам. Во-первых, это меняет математическую картину. Это предполагает, что теоретико-числовые конструкции могут иметь больше вклада в дискретную геометрию, чем многие исследователи предполагали. Во-вторых, это меняет картину ИИ. Модель, участвовавшая в этом, была описана как модель общего назначения, а не система, построенная только для этой конкретной проблемы.

Иными словами, система, кажется, передала силу рассуждений в незнакомую исследовательскую среду. Она не просто запомнила известное доказательство. Она сгенерировала результат, который внешние математики рассматривали как значительный вклад.

Google DeepMind и формальный поиск доказательств

Статья исследователей Google DeepMind затрагивает другой, но не менее важный вопрос: как можно сделать математику, сгенерированную ИИ, надежной?

Модели языка могут производить элегантно выглядящие аргументы, которые содержат тонкие ошибки. В нормальной прозе эти ошибки могут быть трудно обнаружить. В математике одна неправильная ступень может сделать все доказательство недействительным. Это почему формальные системы доказательств, такие как Lean, имеют значение. Lean не заботится о том, звучит ли аргумент убедительно. Каждый логический шаг должен проверяться.

AlphaProof Nexus использует это ограничение как часть рабочего процесса. Агенты ИИ генерируют попытки доказательств в Lean, получают обратную связь от компилятора, пересматривают свой подход и продолжают поиск. Более сильная версия координирует субагентов и использует более продвинутые инструменты доказательств, чтобы сосредоточить поиск.

Результат DeepMind особенно важен, потому что он связывает рассуждения ИИ с проверкой. Системе не нужно доверять в том же смысле, в котором доверяют чат-боту на естественном языке. Его доказательство либо компилируется, либо нет.

Что это значит для математических исследований

Текущий урок заключается не в том, что математики устарели. Это то, что бутылочное горлышко в математике может меняться.

Исторически исследователю нужно было делать почти все: формулировать проблему, обследовать литературу, проверять идеи, строить доказательство, проверять каждый шаг и сообщать результат. ИИ теперь угрожает перераспределить этот труд. Некоторые части рабочего процесса могут стать быстрее, дешевле и более автоматизированными.

• ИИ может исследовать многие пути доказательств, прежде чем человек потратит время на один.
• Формальные системы могут проверять шаги, которые в противном случае потребовали бы медленной экспертной проверки.
• Исследователи могут использовать ИИ для поиска по далеким математическим подполям.

Это может произвести новый стиль исследований. Вместо того, чтобы просить ИИ о ответе, математики могут все чаще руководить флотами агентов доказательств. Роль человека становится менее похожей на калькулятор и более похожей на исследовательского директора: выбирающего правильные проблемы, интерпретирующего результаты, обнаруживающего концептуальное значение и решающего, какие пути заслуживают более глубокого внимания.

Ограничения все еще реальны

Важно не преувеличивать момент. Система Google DeepMind решила 9 из 353 попыток проблем Эрдёша. Это впечатляет, но это также означает, что большинство осталось нерешенными. Результат единичного расстояния OpenAI является вехой, но он не подразумевает, что каждая знаменитая гипотеза теперь находится в легком доступе.

Системы ИИ все еще борются, когда проблема требует новой концептуальной основы, когда соответствующая математика плохо формализована или когда доказательство зависит от длинных цепей прозрения, которые не могут быть легко разложены на поисковые шаги. Формальные библиотеки доказательств также не равномерны. Области с зрелым покрытием Lean более доступны агентам ИИ, чем области, где основной материал все еще нужно закодировать.

• Системы остаются зависимыми от выбора проблемы и интерпретации человека.
• Формализация может быть трудной, когда определения неоднозначны или неразвиты.
• Попытки доказательств, сгенерированные ИИ, все еще могут скрывать тяжелую работу внутри непроверенных вспомогательных утверждений.

Эти ограничения не являются неудачами. Они уточняют, где должны произойти следующие достижения. Лучшие агенты теорем, более богатые формальные библиотеки, более сильные рабочие процессы верификации и более эффективные интерфейсы человека-ИИ будут иметь значение.

Что дальше после того, как ИИ решит проблемы Эрдёша?

Наиболее вероятное ближайшее будущее не является одним драматическим моментом, когда ИИ решит все математику. Это стабильное расширение исследований, с помощью ИИ, в области с чистыми формулировками проблем, сильными формальными библиотеками и большими объемами фрагментированных предыдущих работ.

Комбинаторика, теория графов, теория чисел, оптимизация и дискретная геометрия являются естественными ранними целями. Эти области часто содержат проблемы, где вопрос краток, но решение зависит от соединения идей из далеких мест. ИИ хорошо подходит для такого поиска.

Со временем тот же шаблон может распространиться за пределы математики. Если модель может удержать трудный аргумент, проверить промежуточные утверждения и соединить идеи по разным областям, эти возможности имеют значение в физике, биологии, материаловедении, криптографии и исследованиях ИИ.

Более глубокий след заключается в культуре. Математика всегда ценила доказательство, но она также ценила вкус: способность знать, какая проблема имеет значение, какая абстракция стоит изобретения и какой результат меняет форму области. Когда поиск доказательств становится более автоматизированным, вкус может стать более важным, а не менее.

Заключение: гений перемещается вверх по стеку

Следствие для предыдущего вопроса теперь яснее. Если ИИ может решить открытые математические проблемы, человеческий гений не исчезает. Он перемещается вверх по стеку.

Редкая навык не будет способностью перемалывать каждый технический шаг в одиночку. Это будет способность задавать правильные вопросы, формулировать правильные абстракции, оценивать значение результатов, обнаруженных машиной, и направлять системы ИИ к проблемам, которые имеют значение.

Прорыв единичного расстояния OpenAI и результат формального поиска доказательств Google DeepMind не закрывают книгу о человеческой математической креативности. Они открывают новую главу, в которой математики могут работать с системами, которые могут исследовать местность быстрее, чем любой индивидуальный ум.

Будущее математики может не принадлежать только людям или машинам. Оно может принадлежать исследователям, которые учатся заставлять обе думать вместе.