Buckmaster og Alpöge publiserer AI‑bevis på singularitet i væske, bestrider OpenAI‑kontakt

NYU‑matematiker Tristan Buckmaster og Anthropic‑forsker Levent Alpöge har offentliggjort tre pre‑prints som etablerer endelig‑tids‑singularitet med glatt pådriving for den inkompressible porøse medium‑ligningen, det todimensjonale Boussinesq‑systemet og de tredimensjonale inkompressible Euler‑ligningene, sammen med Lean‑formaliseringer av bevisene. I en uttalelse som ble lagt ved pre‑printene forteller Buckmaster også om kontakter med OpenAI, hvor han skriver at selskapet fortalte ham at en intern modell hadde produsert et omtrent 100‑siders bevis på endelig‑tids‑singularitet for de tvungne Navier–Stokes‑ligningene — en av retningene i Clay Mathematics Institutes Millennium‑prispremier. Clays offisielle problemside lister fortsatt opp Navier–Stokes‑eksistens‑ og glatthetsproblemet som uløst. OpenAI hadde per 8. september 2026 ikke publisert noen kunngjøring om et slikt resultat på sin nyhetsside, og Buckmaster oppgir at han ikke har sett beviset.

De publiserte resultatene

Pre‑printene følger Diego Córdoba‑ og Luis Martínez‑Zoroas program for singularitet med glatt pådriving over tre modell‑ligninger. Euler‑artikkelen konstruerer en endelig‑tids‑singularitet for de inkompressible Euler‑ligningene i tredimensjonalt rom med en kraft som forblir glatt i både rom og tid opp til og med tidspunktet for singulariteten. Den innledende hastigheten er glatt, aksissymmetrisk med ikke‑null sving og null meridional komponent, og er støttet i en fast solid torus; vorticitet‑ og sirkulasjons‑gradientnormene går mot uendelig ved sluttiden, og løsningen forblir glatt og unik i en angitt endelig‑energi‑klasse på hvert tidligere lukket intervall. Artikkelen beskriver konstruksjonen som en fortsettelse av Córdoba‑Martínez‑Zoroa‑programmet om singularitetsdannelse gjennom interagerende lag på stadig mindre skalaer.

Boussinesq‑artikkelen beviser endelig‑tids‑singularitet for det inviskide Boussinesq‑systemet på planet med glatt pådriving i begge ligningene, fra glatt kompakt‑støttet starttemperatur og null start‑hastighet. Temperaturen forblir begrenset mens gradientnormen går mot uendelig og vorticitetsnormen har uendelig limsup, med begge krefter som er glatte i hver blandet derivert på det lukkede tidsintervallet og støttet i en fast ball. IPM‑artikkelen, i tillegg medforfattet av Matei P. Coiculescu, beviser endelig‑tids‑singularitet for den inkompressible porøse medium‑ligningen på den todimensjonale torusen med en uniformt rom‑tid‑glatt kraft, og utvider et tidligere Córdoba‑Martínez‑Zoroa‑resultat hvor pådrivingen kun var glatt i rommet.

Alle tre verkene ble verifisert i Lean‑bevisassistenten, og forfatterne la de formelle bevisene i et offentlig repository som inneholder separate Euler‑ og Boussinesq‑singularitetsmoduler. I sin uttalelse skriver Buckmaster at han og Alpöge også tror de har singularitet for hypodissipativ Navier–Stokes, men at de ikke publiserer den artikkelen fordi Lean‑verifiseringen ikke er fullført og ingen presentabel manuskript finnes.

LLM‑er i bevisene

Forfatterne oppgir omfattende bruk av store språkmodeller gjennom hele prosjektet. IPM‑artikkelen sier at forfatterne brukte Anthropics Claude til å identifisere nøkkel­elementer i det tidligere Córdoba‑Martínez‑Zoroa‑beviset og gjenskape argumentet, samt brukte Claude og OpenAIs Codex til å skrive hoveddelen av teksten, mens de overlater bokføring av induktive ordener og konstanter til modellene under deres veiledning; innledningen ble skrevet av de oppførte forfatterne. Boussinesq‑artikkelens AI‑uttalelse rapporterer at paret oppnådde sin første singularitetsløsning 15. august 2026, og verifiserte den i Lean 22. august 2026, og at de itererte manuskriptene med Claude og Codex, senere med modeller kalt 5.6 Sol og Astra, sistnevnte kun for manuskript og revisjon av argumenter. Buckmasters uttalelse sier at det første LLM‑genererte beviset Alpöge sendte ham var «det mest forferdelige jeg noen gang har lest», og Boussinesq‑AI‑uttalelsen kaller den første modell‑produserte manuskripten den dårligste forfatterne har sett i matematikk. Buckmaster beskriver den publiserte Euler‑manuskripten som nærmere modell‑output under menneskelig styring enn som et menneskeskapt papir, og beklager presentasjonen mens han peker på eksternt press for den akselererte publiseringen.

Buckmaster skriver at samarbeidet var rent personlig, uten institusjonelle avtaler eller offisiell involvering fra noen av arbeidsgiverne, og at han betalte for verktøyene, inkludert en stor OpenAI‑regning, med egne forskningsmidler. Han gir kreditt for programmets grunnidéer til Córdoba og Martínez‑Zoroa, og skriver at paret har utforsket tvungne singularitetskonstruksjoner i flere år og at, etter hans mening, Martínez‑Zoroa fortjener en Fields‑medalje.

De omstridte kontaktene

Den siste delen av Buckmasters uttalelse er hans beretning om hendelser fra 3. september 2026, da han, etter et rykte om at Anthropic hadde løst et stort åpent problem, sendte en e‑post til en matematiker i OpenAI for å klargjøre at arbeidet var et personlig samarbeid og ville bli publisert snart. Han skriver at etter å ha bedt om et senere møte, ble han bedt om å møtes 6. september, og at han og matematikeren, sammen med OpenAIs Sébastien Bubeck, snakket to ganger den ettermiddagen uten Alpöge til stede.

I disse samtalene skriver Buckmaster at han ble fortalt at en intern OpenAI‑modell hadde produsert et bevis på endelig‑tids‑singularitet for de tvungne Navier–Stokes‑ligningene, med eksistens både i tredimensjonalt euklidisk rom og på tredimensjonale torusen, og at pådrivingen var glatt under to av alternativene i Charles Feffermans offisielle formulering av Clay‑problemet. Han forteller at beviset var på omtrent 100 sider og at «svært lite menneskelig input» hadde blitt brukt — en beskrivelse han sier ble avkreftet i løpet av samtalen da det fremkom at et team hadde arbeidet med problemet, først hadde satt modellen på enklere problemer inkludert Euler, og hadde til og med skrevet den viste prompten ved å prompt‑e Codex. Buckmaster skriver at det til slutt ble enige om at den første prompten hadde blitt sendt i dagene før, etter at informasjon om parets arbeid hadde nådd OpenAI. Da han spurte om modellen var trent på eller hadde tilgang til deres Codex‑sesjoner, hvor de hadde lagret alle prosjektutkast, fikk han svar at modellen ikke slår opp brukerdata; på treningsspørsmålet skriver han: «Jeg fikk ikke noe svar».

Buckmaster beskriver to forslag han sier ble lagt frem for ham: at paret skulle publisere sitt Euler‑resultat med at OpenAI publiserte sitt Navier–Stokes‑resultat dagen etter, eller at Buckmaster alene skulle skrive en artikkel som presenterte Navier–Stokes‑resultatet mens han anerkjente at en intern OpenAI‑modell hadde løst det. Han skriver at Bubeck to ganger hevdet at han ønsket at Alpöge skulle fjernes fra forfatterskapet, med henvisning til Alpöges ansettelse hos Anthropic, og at det ble sagt at OpenAI, dersom de publiserte etter paret, ville kreditere dem som fortjente Clay‑prisen og som de «nærmeste menneskene til problemet». Buckmaster skriver at han avslo begge tilbudene og sa at han ville gå offentlig dersom OpenAI slapp resultatet som foreslått; han gjengir svaret: «Hvorfor skulle du ødelegge karrieren din?» fulgt, etter at han spurte hvorfor en offentliggjøring ville ødelegge karrieren, av «Hvis du ikke vil at jeg skal være snill, så trenger jeg ikke være snill».

Buckmaster uttaler klart hva han ikke påstår: han har ikke sett OpenAIs bevis, vet ikke hva modellen gjorde eller hvordan, og vet ikke om parets data ble brukt. «Jeg anklager ingen for noe», skriver han. «Jeg sier bare hva jeg ble fortalt, når, og hva som ble foreslått til meg.» Han legger til at dersom en OpenAI‑modell hadde lukket gapet til Navier–Stokes, «det er en bemerkelsesverdig ting og det bør sies høyt, av dem, med historien intakt.»

Clay‑instituttets million‑dollar Millennium‑prispremie ber, i Feffermans formulering, om et bevis enten på at glatte løsninger til de tredimensjonale Navier–Stokes‑ligningene eksisterer for all tid, eller at de bryter ned i endelig tid; de publiserte pre‑printene tar for seg de tvungne Euler‑, Boussinesq‑ og IPM‑ligningene, som mangler viskositets­leddet som skiller Navier–Stokes.