Buckmaster og Alpöge publiserer AI‑flyt‑blåse‑bevis, detaljerer OpenAI‑samtaler

NYU-matematikeren Tristan Buckmaster og Anthropic‑forskeren Levent Alpöge har offentlig publisert tre preprints som fastslår endelig‑tids‑blåsing med glatt pådriving for den inkompressible porøse medium‑ligningen, det todimensjonale Boussinesq‑systemet og de tredimensjonale inkompressible Euler‑ligningene, sammen med Lean‑formaliseringer av bevisene. I en uttalelse publisert sammen med preprintene forteller Buckmaster også om kontakter med OpenAI hvor, skriver han, selskapet fortalte ham at en intern modell hadde produsert et omtrent 100‑siders bevis på endelig‑tids‑blåsing for de tvungne Navier–Stokes‑ligningene — retningen til ett av Clay Mathematics Institutes Millennium‑prisutfordringer. Clays offisielle problemside fortsetter å liste Navier–Stokes‑eksistens‑ og glatthets‑problemet som uløst. OpenAI hadde ikke publisert noen kunngjøring av et slikt resultat på sin nyhetsside per 8. september 2026, og Buckmaster oppgir at han ikke har sett beviset.

De publiserte resultatene

Preprintene viderefører blåse‑programmet til Diego Córdoba og Luis Martínez‑Zoroa til glatt pådriving over tre modell‑ligninger. Euler‑artikkelen konstruerer en endelig‑tids‑singularitet for de inkompressible Euler‑ligningene i tredimensjonalt rom med en pådriving som forblir glatt i rom og tid helt opp til og med blåse‑tiden. Den innledende hastigheten er glatt, aksissymmetrisk med ikke‑null virvel og null meridional komponent, og er støttet i en fast solid torus; vorticitets‑ og sirkulasjons‑gradientnormene går mot uendelig ved sluttiden, og løsningen forblir glatt og unik i en angitt endelig‑energi‑klasse på hvert tidligere lukket intervall. Artikkelen beskriver konstruksjonen som en fortsettelse av Córdoba–Martínez‑Zoroa‑programmet om singularitetsdannelse gjennom interagerende lag på stadig mindre skalaer.

Boussinesq‑artikkelen beviser endelig‑tids‑blåsing for det inviskide Boussinesq‑systemet på planet med glatt pådriving i begge ligningene, fra en glatt kompakt støttet starttemperatur og null start‑hastighet. Temperaturen forblir begrenset mens dens gradientnorm går mot uendelig og vorticitetsnormen har uendelig limsup, med begge pådrivinger glatte i alle blandede deriverte på det lukkede tidsintervallet og støttet i én fast kule. IPM‑artikkelen, også medforfattet av Matei P. Coiculescu, beviser endelig‑tids‑blåsing for den inkompressible porøse medium‑ligningen på den todimensjonale torusen med en uniformt rom‑tid‑glatt pådriving, og utvider et tidligere resultat fra Córdoba–Martínez‑Zoroa der pådrivingen kun var glatt i rom.

Alle tre verkene ble verifisert i Lean‑bevisassistenten, og forfatterne publiserte formaliserings‑kodene i et offentlig lager som inneholder separate Euler‑ og Boussinesq‑blåse‑moduler. I sin uttalelse skriver Buckmaster at han og Alpöge også tror de har blåsing for hypodissipativ Navier–Stokes, men ikke slipper ut den artikkelen fordi Lean‑verifiseringen ikke er fullført og ingen presentabel skriftlig fremstilling finnes.

LLM‑er i bevisene

Forfatterne avslører omfattende bruk av store språkmodeller gjennom hele prosjektet. IPM‑artikkelen oppgir at forfatterne brukte Anthropic sin Claude for å identifisere nøkkel‑elementer i det tidligere Córdoba–Martínez‑Zoroa‑beviset og gjenskape argumentet, og brukte Claude og OpenAI sin Codex for å skrive hoveddelen av teksten, og delegert bokføring av induktive ordener og konstanter til modellene under forfatternes veiledning; innledningen ble skrevet av de oppførte forfatterne. Boussinesq‑artikkelens AI‑uttalelse rapporterer at paret oppnådde sin første blåse‑løsning 15. august 2026, og Lean‑verifiserte den 22. august 2026, og at de itererte på skrivingene med Claude og Codex, senere ved bruk av modeller kalt 5.6 Sol og Astra, sistnevnte kun for skrivinger og revisjon av argumenter. Buckmasters uttalelse sier at det første LLM‑genererte beviset Alpöge sendte ham var «det mest forferdelige jeg noen gang har lest», og Boussinesq‑AI‑uttalelsen kaller den første modell‑produserte skrivingen den dårligste forfatterne har sett i matematikk. Buckmaster beskriver den publiserte Euler‑skrivingen som nærmere modell‑output under menneskelig styring enn som et menneskeskapt papir, og beklager presentasjonen og peker på ekstern press for den akselererte publiseringen.

Buckmaster skriver at samarbeidet var rent personlig, uten institusjonelle avtaler eller offisiell involvering fra noen av arbeidsgiverne, og at han betalte for verktøy, inkludert en stor OpenAI‑regning, fra sine egne forskningsmidler. Han gir kreditt for programmets grunnleggende ideer til Córdoba og Martínez‑Zoroa, og skriver at paret hadde utforsket tvungne blåse‑konstruksjoner i flere år og at, etter hans mening, Martínez‑Zoroa fortjener en Fields‑medalje.

De omstridte kontaktene

Den siste delen av Buckmasters uttalelse er hans beretning om hendelser fra 3. september 2026, da, med et rykte som sirkulerte om at Anthropic hadde løst et stort åpent problem, han sendte en e‑post til en matematiker hos OpenAI for å klargjøre at arbeidet var et personlig samarbeid og ville bli publisert snart. Han skriver at etter å ha bedt om et senere møte, ble han bedt om å møtes 6. september, og at han og matematikeren, sammen med OpenAI‑s Sébastien Bubeck, snakket to ganger den ettermiddagen uten at Alpöge var til stede.

Under disse samtalene skriver Buckmaster at han ble fortalt at en intern OpenAI‑modell hadde produsert et bevis på endelig‑tids‑blåsing for de tvungne Navier–Stokes‑ligningene, med eksistens både i tredimensjonalt euklidisk rom og på tre‑torusen, og med pådrivingen glatt under to av alternativene i Charles Feffermans offisielle uttalelse om Clay‑problemet. Han forteller at han ble informert om at beviset var på omtrent 100 sider og at «svært lite menneskelig input» hadde blitt brukt — en karakterisering han sier ble avkledd i løpet av samtalen da det fremkom at et team hadde jobbet med problemet, først satt modellen på enklere problemer inkludert Euler, og hadde skrevet selv den viste prompten ved å prompt‑e Codex. Buckmaster skriver at man til slutt ble enige om at den første prompten hadde blitt sendt i de foregående dagene, etter at informasjon om parets arbeid hadde nådd OpenAI. Da han spurte om modellen var trent på eller hadde tilgang til deres Codex‑økter, der de hadde lagret alle prosjektutkastene, fikk han beskjed om at modellen ikke slår opp brukerdata; på treningsspørsmålet skriver han: «Jeg fikk ikke svar.»

Buckmaster beskriver to forslag han sier ble lagt frem for ham: at paret publiserer sitt Euler‑resultat med at OpenAI publiserer sitt Navier–Stokes‑resultat dagen etter, eller at Buckmaster alene skriver en artikkel som presenterer Navier–Stokes‑resultatet mens han anerkjenner at en intern OpenAI‑modell hadde løst det. Han skriver at Bubeck to ganger hevdet at han ønsket at Alpöge skulle fjernes fra forfatterskapet, med henvisning til Alpöge sin ansettelse hos Anthropic, og at det ble sagt at OpenAI, dersom de publiserte etter paret, ville kreditere dem som fortjente Clay‑prisen og som de «nærmeste menneskene til problemet». Buckmaster skriver at han avslo begge tilbudene og sa at han ville gå offentlig dersom OpenAI frigjorde resultatet som foreslått; han gjengir svaret, «Hvorfor skulle du ødelegge karrieren din?», etterfulgt av, etter at han spurte hvorfor en offentliggjøring ville ødelegge hans karriere, med «Hvis du ikke vil at jeg skal være hyggelig, så trenger jeg ikke å være hyggelig.»

Buckmaster sier tydelig hva han ikke påstår: han har ikke sett OpenAIs bevis, vet ikke hva modellen gjorde eller hvordan, og vet ikke om parets data ble brukt. «Jeg anklager ingen for noe», skriver han. «Jeg oppgir hva jeg ble fortalt, når, og hva som ble foreslått til meg.» Han legger til at dersom en OpenAI‑modell faktisk lukket gapet til Navier–Stokes, «det er en bemerkelsesverdig ting og det bør uttales høyt, av dem, med historien intakt.»

Clay‑instituttets million‑dollar Millennium‑prize ber, i Feffermans formulering, om et bevis enten for at glatte løsninger til de tredimensjonale Navier–Stokes‑ligningene eksisterer for all tid, eller at de bryter sammen i endelig tid; de publiserte preprintene tar for seg de tvungne Euler‑, Boussinesq‑ og IPM‑ligningene, som mangler viskositets‑termen som skiller Navier–Stokes.