Buckmaster と Alpöge が AI 流体ブロウアップ証明を公開、OpenAI とのやり取りを詳細に報告

NYU の数学者 Tristan Buckmaster と Anthropic の研究者 Levent Alpöge は、非圧縮性多孔質媒体方程式、二次元 Boussinesq 系、三次元非圧縮性 Euler 方程式に対して、滑らかな強制項を伴う有限時間ブロウアップを確立した 3 本のプレプリントを公開し、さらに Lean による証明形式化も提供しました。プレプリントと共に掲載された声明の中で、Buckmaster は OpenAI とのやり取りを語っており、同社が内部モデルで強制された Navier–Stokes 方程式に対する約 100 ページにわたる有限時間ブロウアップの証明を生成したと述べたと記しています――これは Clay Mathematics Institute のミレニアム賞問題の一つです。Clay の公式問題ページは依然として Navier–Stokes の存在性と滑らかさの問題を未解決として掲載しています。2026 年 9 月 8 日時点で OpenAI はそのような結果をニュースページで発表しておらず、Buckmaster はその証明を見たことはないと述べています。

公開された結果

これらのプレプリントは Diego Córdoba と Luis Martínez‑Zoroa のブロウアッププログラムを、3 つのモデル方程式に対する滑らかな強制項へと拡張したものです。Euler 論文は、三次元空間上の非圧縮性 Euler 方程式に対し、ブロウアップ時点まで空間・時間ともに滑らかな力を加えることで有限時間特異点を構成しています。初期速度は滑らかで、非零の渦を持つ軸対称であり、子午線成分はゼロ、固定された実体トーラス内に支えられています。渦度と循環勾配ノルムは終端時に無限大に発散し、解はそれ以前のすべての閉区間で有限エネルギークラスに属し滑らかかつ一意に存在します。本稿は、この構成を Córdoba‑Martínez‑Zoroa プログラムの、より小さなスケールで相互作用する層を通じた特異点形成の継続として位置付けています。

Boussinesq 論文は、平面上の非粘性 Boussinesq 系に対し、両方の方程式に滑らかな強制項を加えて有限時間ブロウアップを証明しています。初期温度は滑らかでコンパクトに支えられ、初期速度はゼロです。温度自体は有界に保たれますが、その勾配ノルムは無限大に発散し、渦度ノルムの上限上限（limsup）も無限大になります。両方の強制項は閉じた時間区間全体で任意の混合導関数に対して滑らかで、固定された球内に支えられています。IPM 論文は、Matei P. Coiculescu と共同執筆し、二次元トーラス上の非圧縮性多孔質媒体方程式に対し、空間・時間ともに一様に滑らかな力を加えて有限時間ブロウアップを示しています。これは、以前の Córdoba‑Martínez‑Zoroa の結果（空間的にのみ滑らかな強制項）を拡張したものです。

3 つの研究すべてが Lean 証明支援系で検証されており、著者らは 公開リポジトリに Euler と Boussinesq のブロウアップモジュールを別々に配置した形で形式化コードを公開しました。声明の中で Buckmaster は、低減散逸 Navier–Stokes に対してもブロウアップが得られると考えているが、Lean での検証が完了しておらず、現時点で提示できる論文がないため公開していないと述べています。

証明における LLM

著者らは本プロジェクト全体で大規模言語モデル（LLM）を多用したことを開示しています。IPM 論文では、Anthropic の Claude を用いて従来の Córdoba‑Martínez‑Zoroa 証明の主要要素を特定し再構築し、Claude と OpenAI の Codex を使って本文の執筆を行い、帰納的階層や定数の管理はモデルに委任したと記しています（序論は著者自身が執筆）。Boussinesq 論文の AI 声明では、2026 年 8 月 15 日に最初のブロウアップ解を得て、8 月 22 日に Lean で検証したと報告しています。その後、Claude と Codex で執筆を繰り返し、後に 5.6 Sol と Astra というモデルを導入し、主に執筆と議論の監査に使用したと述べています。Buckmaster の声明によれば、Alpöge が送った最初の LLM 生成証明は「これまで読んだ中で最もひどい」ものであり、Boussinesq の AI 声明でも最初のモデル生成稿が「著者らが数学で見た中で最悪」だったと記しています。Buckmaster は公開された Euler の執筆を「人間の指示下でモデルが出力したものに近く、人間が書いた論文とは違う」と説明し、提示の仕方を謝罪するとともに、公開を加速させた背景に外部からの圧力があったと述べています。

Buckmaster は、この協働は完全に個人的なものであり、所属機関との契約や公式な関与は一切なく、使用したツールや大規模な OpenAI 請求額もすべて自身の研究資金で賄ったと述べています。また、プログラムの基本的なアイデアは Córdoba と Martínez‑Zoroa に帰属するとし、彼らが数年にわたり強制ブロウアップ構築を探求してきたこと、さらに Martínez‑Zoroa はフィールズ賞に値すると自身の見解を示しています。

争点となったやり取り

Buckmaster の声明後半は、2026 年 9 月 3 日以降の出来事についての記述です。当時、Anthropic が重要な未解決問題を解決したという噂が流れたことを受け、OpenAI の数学者に対し本研究は個人的な協働でありまもなく公開予定である旨を確認するメールを送ったと述べています。後日、9 月 6 日に会合の設定を求められ、同日午後に OpenAI の Sébastien Bubeck を交えて数学者と 2 回会話したが、Alpöge は同席していなかったと記しています。

その通話で、内部モデルが強制 Navier–Stokes 方程式に対し有限時間ブロウアップの証明を生成したと伝えられました。対象は三次元ユークリッド空間と三次元トーラスの両方で、強制項は Charles Fefferman の公式 Clay 問題声明にある二つの条件のいずれかを満たす滑らかさである、と説明されています。証明は約 100 ページで「人間の入力はほとんどなかった」――この表現は、チームがまずは容易な問題（Euler など）でモデルを試し、さらには Codex にプロンプト自体を書かせたことが明らかになるにつれて、通話中に次第に崩れたと Buckmaster は述べています。最初のプロンプトは数日前に送られ、ペアの研究成果が OpenAI に伝わった後に行われたとされています。モデルが彼らの Codex セッション（プロジェクト全体の草稿をすべて保存したもの）を訓練データとして使用したか、あるいはアクセスできたかを尋ねたところ、モデルはユーザーデータを検索しないと答えられ、訓練に関しては「回答を得られなかった」と述べています。

Buckmaster は二つの提案を受けたと記しています。すなわち、ペアが Euler の結果を公開し、翌日に OpenAI が Navier–Stokes の結果を公開する、あるいは Buckmaster が単独で Navier–Stokes の結果を論文として執筆し、内部モデルがそれを解決したことを認める、というものです。Bubeck は二度にわたり、Alpöge を著者から外すよう求め、Alpöge が Anthropic に所属していることを根拠にしました。また、ペアが先に公開した後に OpenAI が結果を出す場合は、Clay 賞の受賞者として「問題に最も近い人間」としてクレジットすると言われたと述べています。Buckmaster は両案とも辞退し、OpenAI が提案通りに結果を公開した場合は自ら情報を公開すると宣言しました。その際の返答は「なぜキャリアを台無しにするんだ？」であり、さらに「私に優しくしてほしくないなら、私も優しくする必要はない」と続きました。

Buckmaster は次の点を明確にしています。すなわち、彼は OpenAI の証明を見ておらず、モデルが何をしたのか、どのようにしたのか、ペアのデータが使用されたかどうかも分からないということです。「誰かを非難しているわけではない。自分が聞いたこと、いつ聞いたこと、そして自分に提案されたことを述べているだけだ」と述べ、もし OpenAI のモデルが Navier–Stokes のギャップを埋めたのであれば「それは極めて重要なことであり、歴史を正しく残した形で彼ら自身が大々的に発表すべきだ」と付け加えています。

Clay Institute の百万ドル規模のミレニアム賞は、Fefferman の定式化において、三次元 Navier–Stokes 方程式の滑らかな解が全時間にわたって存在するか、あるいは有限時間で破綻するかのいずれかを証明することを求めています。今回公開されたプレプリントは、粘性項を持たない強制 Euler、Boussinesq、IPM 方程式を扱っており、Navier–Stokes を特徴付ける粘性項は含まれていません。