Buckmaster と Alpöge が AI 流体ブロウアップ証明を公開、OpenAI との接触を争う

NYU の数学者 Tristan Buckmaster と Anthropic の研究者 Levent Alpöge は、非圧縮性多孔質媒体方程式、二次元 Boussinesq 系、三次元非圧縮性 Euler 方程式に対し、滑らかな外力下で有限時間ブロウアップを確立した 3 本のプレプリントを公開し、証明の Lean 形式化も行いました。プレプリントと共に掲載された声明の中で、Buckmaster は OpenAI とのやり取りを語っており、同社は内部モデルが強制 Navier–Stokes 方程式に対する約 100 ページに及ぶ有限時間ブロウアップの証明を生成したと彼に伝えたと書いています——これは Clay Mathematics Institute のミレニアム賞問題の一つです。Clay の公式問題ページは依然として Navier–Stokes の存在と滑らかさ問題を未解決として掲載しています。2026年9月8日現在、OpenAI はそのような結果についてニュースページに一切の発表をしておらず、Buckmaster はその証明を見たことがないと述べています。

The Posted Results

プレプリントは Diego Córdoba と Luis Martínez‑Zoroa のブロウアッププログラムを、3 つのモデル方程式に対する滑らかな外力へと拡張したものです。Euler 論文は、三次元空間上の非圧縮性 Euler 方程式に対し、ブロウアップ時刻まで空間・時間ともに滑らかである外力を用いて有限時間特異点を構成します。初期速度は滑らかで、非ゼロの渦流を持つ軸対称かつ子午線成分がゼロで、固定された実体トーラス内に支えられています。渦度と循環勾配ノルムは終端時刻で無限大に発散し、解はそれ以前のすべての閉区間において、所定の有限エネルギークラスで滑らかかつ唯一です。本稿は、この構成を、相互作用する層が次第に小さなスケールで重なり合うことによる特異点形成に関する Córdoba‑Martínez‑Zoroa プログラムの継続と位置付けています。

Boussinesq 論文は、平面上の非粘性 Boussinesq 系に対し、両方の方程式に滑らかな外力を加え、滑らかでコンパクトに支えられた初期温度とゼロの初期速度から有限時間ブロウアップを証明します。温度は有界である一方、その勾配ノルムは無限大に発散し、渦度ノルムは上限が無限大です。両方の外力は閉じた時間区間のすべての混合導関数に対して滑らかで、固定された球内に支えられています。IPM 論文は、Matei P. Coiculescu との共著で、二次元トーラス上の非圧縮性多孔質媒体方程式に対し、空間・時間共に一様に滑らかな外力で有限時間ブロウアップを証明し、以前の Córdoba‑Martínez‑Zoroa の結果（外力が空間でのみ滑らかだった）を拡張したものです。

3 つすべての研究は Lean 証明支援系で検証され、著者らは Euler と Boussinesq のブロウアップモジュールを別々に含む公開リポジトリに形式化を掲載しました。声明の中で、Buckmaster は自らと Alpöge が低減散 Navier–Stokes に対してもブロウアップがあると考えているが、Lean による検証が完了しておらず、提示可能な原稿も存在しないためその論文は公開しないと述べています。

LLMs in the Proofs

著者らはプロジェクト全体で大規模言語モデルを多用したことを明らかにしています。IPM 論文では、著者らが Anthropic の Claude を用いて前述の Córdoba‑Martínez‑Zoroa 証明の重要要素を特定し議論を再現し、さらに Claude と OpenAI の Codex を使って本文を書き、帰納的順序や定数の管理はモデルに委ねたと述べています。序文は記載された著者らが執筆しました。Boussinesq 論文の AI に関する声明では、二人が最初のブロウアップ解を 2026 年 8 月 15 日に得て、8 月 22 日に Lean で検証し、Claude と Codex で原稿を何度も改訂し、後に 5.6 Sol と Astra と呼ばれるモデルを使用したと報告しています。Astra は主に原稿作成と議論の監査に用いられました。Buckmaster の声明によれば、Alpöge が送った最初の LLM 生成証明は「これまで読んだ中で最もひどい」ものであり、Boussinesq の AI 声明は最初のモデル生成原稿を「著者らが数学で見た中で最悪」と評しています。Buckmaster は公開された Euler の原稿を、人間が指示したモデル出力に近く、人間が執筆した論文とは言えないと述べ、提示の仕方を謝罪し、リリースを早めた背景には外部からの圧力があったと指摘しています。

Buckmaster は、協力は純粋に個人的なものであり、いずれの雇用主からも機関的な合意や公式な関与はなかったと述べ、ツール費用（大きな OpenAI の請求書を含む）を自身の研究資金で支払ったと書いています。プログラムの基本的なアイデアは Córdoba と Martínez‑Zoroa に帰属するとし、二人が数年にわたり強制ブロウアップ構築を探求してきたこと、そして彼の見解では Martínez‑Zoroa がフィールズ賞に値すると述べています。

The Disputed Contacts

Buckmaster の声明の後半は、2026 年 9 月 3 日に始まる出来事の記録です。その時、Anthropic が重要な未解決問題を解決したという噂が流れた中で、彼は OpenAI の数学者にメールを送り、これは個人的な共同作業であり間もなく公開されることを明らかにしました。後日会合を希望した後、9 月 6 日に会うよう求められ、彼とその数学者、さらに OpenAI の Sébastien Bubeck が加わり、Alpöge が不在のままその午後に二度会話したと書いています。

これらの通話で、Buckmaster は、内部の OpenAI モデルが強制 Navier–Stokes 方程式に対する有限時間ブロウアップの証明を生成したと伝えられたと述べています。その証明は三次元ユークリッド空間と三次元トーラスの両方で成立し、外力は Charles Fefferman の Clay 問題に関する公式声明の二つのオプションの下で滑らかであるとされています。証明は約 100 ページで「人間の介入はほとんどなかった」と言われたと回想し、通話中にそれがチームが問題に取り組んでいたこと、まずモデルを Euler などの容易な問題に適用し、さらには Codex にプロンプトを与えて表示されたプロンプトすら作成したことが明らかになるにつれ、その評価が崩れたと述べています。最終的に、最初のプロンプトは数日前に送信されたことが合意されたと書き、ペアの研究情報が OpenAI に届いた後のことです。彼がモデルが自分たちの Codex セッション（プロジェクトの草稿すべてを置いた）で訓練されたか、アクセスできるかを尋ねたところ、モデルはユーザーデータを参照しないと答えられ、訓練に関しては「回答を得られなかった」と記しています。

Buckmaster は、彼に提示された二つの提案を述べています。一つは、二人が Euler の結果を公開し、翌日に OpenAI が Navier–Stokes の結果を公開するというもの、もう一つは Buckmaster が単独で Navier–Stokes の結果を示す論文を書き、内部の OpenAI モデルがそれを解決したことを認めるというものです。Bubeck は二度、Alpöge を著者から外すことを望んだと書き、Alpöge が Anthropic に勤務していることを根拠に挙げ、もし二人の後に OpenAI が投稿すれば、Clay 賞に値し「問題に最も近い人間」として評価されると述べたと伝えられました。Buckmaster は両提案を辞退し、OpenAI が提案通りに結果を公開した場合は自ら公表すると述べ、返答として「なぜキャリアを台無しにするんだ？」と聞かれ、さらに「もし私に親切である必要がなければ、親切である必要はない」と返されたと記しています。

Buckmaster は自らが主張していないことを明確に述べています。彼は OpenAI の証明を見たことがなく、モデルが何をしたのか、どのようにしたのか、またペアのデータが使用されたかどうかも知らないと。『誰も非難しているわけではない』と書き、『自分がいつ、何を聞き、何が提案されたかを述べているだけだ』と付け加えています。もし OpenAI のモデルが Navier–Stokes へのギャップを埋めたのであれば、『それは注目すべきことであり、歴史を正しく残した上で、彼ら自身が大々的に語るべきだ』と述べています。

Clay Institute が掲げる 100 万ドルのミレニアム賞は、Fefferman の定式化において、三次元 Navier–Stokes 方程式の滑らかな解が永遠に存在するか、あるいは有限時間で破綻するかのいずれかを証明することを求めています。公開されたプレプリントは、粘性項がなく Navier–Stokes と区別される強制 Euler、Boussinesq、IPM 方程式を扱っています。