Бакмастер и Альпёге публикуют доказательства всплеска в жидкостных уравнениях ИИ, подробно описывают звонки OpenAI

Математик NYU Тристан Бакмастер и исследователь Anthropic Левент Альпёге публично разместили три препринта, в которых устанавливается конечный‑временной всплеск при гладком возмущении для уравнения несжимаемой пористой среды, двумерной системы Буссинеска и трёхмерных несжимаемых уравнений Эйлера, а также формализации доказательств в системе Lean. В заявлении, опубликованном вместе с препринтами, Бакмастер также рассказывает о контактах с OpenAI, где, по его словам, компания сообщила, что внутренняя модель создала примерно 100‑страничное доказательство конечного‑временного всплеска для вынужденных уравнений Навье–Стокса — направление одной из задач Миллениум‑приза Института математики Клея. Официальная страница задачи Клея по‑прежнему перечисляет проблему существования и гладкости решений уравнений Навье–Стокса как нерешённую. На момент 8 сентября 2026 года OpenAI не публиковала никаких объявлений о таком результате на своей новостной странице, а Бакмастер заявляет, что не видел доказательства.

Опубликованные результаты

Препринты продолжают программу Диего Кордобы и Луиса Мартинеса‑Зороа по созданию гладкого возмущения в трёх модельных уравнениях. Статья об Эйлере конструирует конечный‑временной сингулярность для несжимаемых уравнений Эйлера в трёхмерном пространстве при силе, остающейся гладкой как по пространству, так и по времени вплоть до момента всплеска включительно. Начальная скорость гладкая, осесимметричная с ненулевым вихрем и нулевой меридиональной компонентой, поддерживается в фиксированном твёрдом торе; нормы вихря и градиента циркуляции стремятся к бесконечности в конечный момент, а решение остаётся гладким и единственным в указанном классе конечной энергии на каждом более раннем замкнутом отрезке. В статье описывается построение как продолжение программы Кордобы‑Мартинеса‑Зороа по формированию сингулярностей через взаимодействующие слои на всё более мелких масштабах.

Статья о Буссинеске доказывает конечный‑временной всплеск для безвисковой системы Буссинеска на плоскости при гладком возмущении в обеих уравнениях, начиная от гладкой компактно поддерживаемой начальной температуры и нулевой начальной скорости. Температура остаётся ограниченной, в то время как норма её градиента стремится к бесконечности, а норма вихря имеет бесконечный верхний предел; обе силы гладки во всех смешанных производных на замкнутом временном интервале и поддерживаются в одном фиксированном шаре. Статья об IPM, дополнительно соавтором которой является Мате́й П. Коикулеску, доказывает конечный‑временной всплеск для уравнения несжимаемой пористой среды на двумерном торе при равномерно гладкой во времени и пространстве силе, расширяя более ранний результат Кордобы‑Мартинеса‑Зороа, где возмущение было гладким только по пространству.

Все три работы были проверены в системе доказательств Lean, а авторы разместили формализации в публичном репозитории, содержащем отдельные модули всплеска для Эйлера и Буссинеска. В своём заявлении Бакмастер пишет, что он и Альпёге также считают, что у них есть всплеск для гипо‑диссипативных уравнений Навье–Стокса, но они не публикуют эту работу, поскольку её проверка в Lean ещё не завершена и нет готового изложенного текста.

Большие языковые модели в доказательствах

Авторы раскрывают интенсивное использование больших языковых моделей на протяжении всего проекта. В статье об IPM указано, что авторы использовали Claude от Anthropic для выявления ключевых элементов предыдущего доказательства Кордобы‑Мартинеса‑Зороа и воспроизведения его аргумента, а также применяли Claude и Codex от OpenAI для написания основной части текста, делегируя моделям учёт индуктивных порядков и констант под их руководством; введение было написано перечисленными авторами. В заявлении о работе над Буссинеском указано, что пара получила первое решение о всплеске 15 августа 2026 года и проверила его в Lean 22 августа 2026 года, а затем итеративно дорабатывала тексты с помощью Claude и Codex, позже используя модели под названиями 5.6 Sol и Astra, последняя только для написания текстов и аудита аргументов. Бакмастер пишет, что первое LLM‑созданное доказательство, присланное Альпёге, было «самым ужасным, что я когда‑либо читал», а заявление о Буссинеске называет первое модель‑созданное изложение худшим, что авторы когда‑либо видели в математике. Бакмастер описывает опубликованную работу по Эйлеру как более близкую к выводу модели под человеческим руководством, чем к работе, написанной человеком, извиняясь за её оформление и ссылаясь на внешнее давление, ускорившее публикацию.

Бакмастер пишет, что сотрудничество было полностью личным, без институциональных соглашений или официального участия со стороны любого из работодателей, и что он оплатил инструменты, включая крупный счёт OpenAI, из собственных исследовательских средств. Он приписывает основные идеи программы Кордобе и Мартинесу‑Зороа, отмечая, что пара исследовала конструкции вынужденного всплеска в течение нескольких лет, и, по его мнению, Мартинесу‑Зороа заслуживает Фелловской медали.

Оспариваемые контакты

Вторая часть заявления Бакмастера представляет его рассказ о событиях, начавшихся 3 сентября 2026 года, когда, услышав слух о том, что Anthropic решила крупную открытую задачу, он написал mathematician в OpenAI, чтобы уточнить, что работа является личным сотрудничеством и будет скоро опубликована. Он пишет, что после просьбы о более поздней встрече ему предложили встретиться 6 сентября, и что он и математик, к которым присоединился Sébastien Bubeck из OpenAI, провели два разговора тем же днём без участия Альпёге.

Во время этих звонков, по словам Бакмастера, ему сообщили, что внутренняя модель OpenAI создала доказательство конечного‑временного всплеска для вынужденных уравнений Навье–Стокса, существующее как в трёхмерном евклидовом пространстве, так и на трёхмерном торе, при возмущении, гладком согласно двум из вариантов официального заявления Чарльза Феффермана о задаче Клея. Он вспоминает, что ему сказали, что доказательство около 100 страниц и что в нём использовано «очень мало человеческого ввода» — описание, которое, по его словам, распалось в ходе разговора, когда выяснилось, что команда работала над задачей, сначала ставила модель на более простые задачи, включая Эйлера, и даже написала отображаемый запрос, сформулировав его в Codex. Бакмастер пишет, что в конце концов согласовали, что первый запрос был отправлен за несколько дней до этого, после того как информация о работе пары дошла до OpenAI. Когда он спросил, обучалась ли модель на их сессиях Codex, в которые они загрузили все черновики проекта, ему ответили, что модель не ищет пользовательские данные; на вопрос о тренировке он пишет: «Я не получил ответа».

Бакмастер описывает два предложения, которые, как он говорит, были ему сделаны: либо пара публикует результат по Эйлеру, а OpenAI публикует свой результат по Навье–Стоксу на следующий день, либо Бакмастер сам пишет статью о результате по Навье–Стоксу, признавая, что внутренняя модель OpenAI его решила. Он пишет, что Bubeck дважды настаивал, что он хочет убрать Альпёге из списка авторов, ссылаясь на её работу в Anthropic, и что было сказано, что OpenAI, если публикует после пары, признает их как заслуживающих премию Клея и как «ближайших к задаче людей». Бакмастер заявляет, что отклонил оба предложения и сказал, что обнародует информацию, если OpenAI выпустит результат согласно предложенному плану; он вспоминает ответ: «Зачем вам портить карьеру?», после чего, когда он спросил, почему обнародование может навредить его карьере, последовал ответ: «Если ты не хочешь, чтобы я был вежлив, то мне не нужно быть вежливым».

Бакмастер ясно указывает, чего он не утверждает: он не видел доказательство OpenAI, не знает, что именно сделала модель и как, и не знает, использовались ли данные пары. «Я никого не обвиняю», — пишет он. «Я лишь сообщаю, что мне сказали, когда, и какие предложения мне делали». Он добавляет, что если модель OpenAI действительно закрыла разрыв до Навье–Стокса, «это замечательное событие, и его следует громко заявить, от них, с сохранением истории».

Миллионный Миллениум‑приз Института Клея, согласно формулировке Феффермана, требует доказательства либо того, что гладкие решения трёхмерных уравнений Навье–Стокса существуют бесконечно долго, либо того, что они разрушаются за конечное время; опубликованные препринты рассматривают вынужденные уравнения Эйлера, Буссинеска и IPM, в которых отсутствует вязкостный член, отличающий уравнения Навье–Стокса.