Microsoftの研究者と共同研究者、31年前に提起されたKLS予想を証明

Microsoft Researchは2026年10月21日、同社の機械学習・最適化グループの上級研究者であるXinzhi Zhangと共同研究者のZhao Songが、人間主導のエージェント型AI研究プロセスを用いて、高次元幾何学と確率論における31年来の問題であるカンナン＝ロヴァース＝シモノヴィッツ予想を証明したと発表した。

予想と新たに示された上界

証明は、Zhao SongとXinzhi Zhangによる140ページの論文「KLS定数に対するO(1)の上界」に掲載されている。同論文は2026年10月1日に初めてarXivへ投稿され、2026年10月4日に改訂された。投稿者はZhangである。要旨によると、著者らはKLS定数ψ_nが普遍定数C以下であることを証明し、予想を解決した。また、すべての等方的対数凹確率測度について、ポアンカレ定数にも普遍的な上界があることを証明した。

形式的には、1995年に提唱されたこの予想は、n次元空間上のあらゆる等方的対数凹確率測度について、チェガー定数が普遍的な正の定数を下回らないかを問うものだ。Microsoft Researchの投稿が平易な言葉で説明するところによると、幅広いクラスの高次元確率分布において、最適な平面または超平面による切断は、形状を問わない最適な切断と常にほぼ同じ効果を持ち、その差は次元数にかかわらず普遍定数以内に収まるか、という問いである。こうした切断の幾何学的性質は、ランダムウォークが分布全体を探索する速度を左右するため、この予想は高次元サンプリング理論の中核をなしている。

今回の研究以前に知られていた最良の結果は、Brayden Letwinによる21ページの論文「KLS定数はO(log^{1/4} n)」で、2026年7月27日に投稿された。この論文は、ψ_nがlog^{1/4} nの定数倍以下であることを示した。Microsoft Researchの投稿が指摘するように、この上界は次元数が増えるにつれて依然として緩やかに増加していた。今回の研究では、次元に左右されない固定の上界が得られた。

この予想が解決されるずっと前から、その重要性は広く認識されていた。投稿によると、Mathematical Sciences Research Instituteの2017～18年度年次報告書は、KLSを高次元凸幾何学における中心的な未解決問題と位置づけていた。Simons Instituteは、凸幾何学における最も重要な未解決問題の一つと説明していた。また、Ronen Eldanは2022年の国際数学者会議の講演録で、この予想が幅広い分野に及ぼす影響を指摘していた。

人間主導のエージェント型研究プロセス

投稿によると、著者らは2026年7月の結果を改善する取り組みから研究を始めた。AIエージェントを用いた、体系的で人間主導のプロセスを通じて100を超える候補手法を検討した。その多くには高階テンソルを用いた長大な計算が含まれており、最終的な証明の土台となる新たな数学的判定基準を導き出した。

その後、著者らは、この判定基準を再帰的に適用できることを見いだした。各段階で改善した上界を同じ議論に再び当てはめ、さらに厳しい上界を導く方法である。2026年10月1日版の論文では、これにより次元への依存性を反復対数まで抑えた。反復対数は極めて緩やかに増加するものの、次元とともに増えるため、この段階ではまだ予想の解決には至らなかった。最後に、再帰的な改善を一度だけ適用するのではなく、その全体を繰り返すことにした。投稿によると、この発想は線形計画法の高速アルゴリズムに関する著者らの先行研究に着想を得たものだ。著者らは、各段階で生じる小さな誤差が十分な速さで縮小し、その総和が次元に依存しない普遍定数以下に保たれることを証明し、2026年10月4日版で証明を完成させた。

投稿によると、再帰的手法、その反復適用、誤差が有界に保たれることを示す議論は、研究者ら独自の貢献である。AIツールは、候補となる手法の探索、詳細な導出、論文原稿の作成、内部での証明確認を支援した。一方、数学的な方向性を定め、有望な発想を選び、それらを最終的な論証にまとめ、証明を検証したのは研究者らだった。投稿はこの手法を、反復的な人間の支援による選別を伴うエージェント型探索と説明している。複数のエージェントが一つの発想の異なる展開を並行して探る中、研究者は途中段階の結果を検討し、有望でない方向を除外して、最も有望な結果を次の段階に引き継いだ。重要な突破口に至るまでに、およそ100通りの研究過程が探られた。

このプロジェクトでは別途、著者らは複数の有力なAIモデルを使い、同じ問題の解決を誘導なしで繰り返し試みた。主たるプロセスとおおむね同じ総トークン予算を用いたが、この取り組みは目標に届かなかったと投稿は報告している。最終的な成功には、AIシステムの能力と研究者らの数学的判断の両方が欠かせなかったと、投稿は述べている。また、投稿ではSongの研究への貢献に謝意を示すとともに、プロジェクトを通じて議論に参加したVictor ReisとIshai Menacheにも感謝している。

独立した証明と機械による検証

完全な証明が公開されたのと同じ2026年10月4日、Pierre Bizeul、Boaz Klartag、Joseph Lehecは、並行して作成した32ページの証明を「カンナン・ロヴァース・シモノヴィッツ予想の証明を提示する」と題して公開した。論文の要旨には、「証明の重要なステップは、傾斜平均の高階微分を扱う、SongとZhangによるごく最近の判定基準である」と記されており、arXivのコメントには、論文にAIの使用について説明する段落が含まれているとある。また要旨では、KLS予想を、近年の高次元幾何学における数学の発展を牽引してきた要因として、Bourgainのスライス問題や分散予想と並べて挙げている。

Krishnakumar BalasubramanianとShiva Kasiviswanathanは、「等方的対数凹測度のポアンカレ定数に対する次元に依存しない上界」と題する別の証明を公開した。この論文は2026年10月6日に初めて投稿され、同月8日に改訂された。概要によると、この証明は決定論的な変分法によるもので、任意の等方的対数凹確率測度のポアンカレ定数に対して25という明示的な上界を示している。

続いて、KLS500という名前のLean 4形式化が公開され、すべての等方的対数凹確率分布について、次元に依存しないポアンカレ定数の上界が500以下であることが形式化された。リポジトリによると、この開発は主にBizeul、Klartag、Lehecによるキュムラントとサスペンションの手法に基づき、SongとZhangの傾斜・スペクトル判定基準を取り入れている。また、その検証では、カーネル信頼レベル0で1,710個の数学モジュールが再構築された。OpenAIが定義したKLS予想の厳密な記述についても、普遍ポアンカレ定数500を用いたLeanによる検証に合格した。このプロジェクトはApache 2.0ライセンスで公開されている。

Microsoft Researchの投稿は、独立した証明を数学における最も強力な検証方法の一つとして紹介している。それは、結果が単一の推論の連鎖に依存していないことを示すためだ。予想が解決されたことで、以前はそれを仮定としていた結果を、今後は無条件に述べられるようになったと投稿は記している。著者らは証明を短縮し、簡潔になった議論をLeanで検証しており、最終確認後に両方を公開する予定だと投稿は伝えている。