Исследователь Microsoft Research и его соавтор доказали гипотезу KLS, которой 31 год

Microsoft Research сообщила 21 октября 2026 года, что Синьчжи Чжан, старший исследователь группы машинного обучения и оптимизации, и его соавтор Чжао Сун доказали гипотезу Каннана — Ловаса — Симоновица — задачу из области геометрии и теории вероятностей в высоких размерностях, над которой работали 31 год. В исследовании использовался процесс с агентным ИИ, направляемый человеком.

Гипотеза и новая оценка

Доказательство представлено в статье объёмом 140 страниц «Оценка O(1) для константы KLS», авторами которой указаны Чжао Сун и Синьчжи Чжан. Статья впервые была отправлена в arXiv 1 октября 2026 года и переработана 4 октября 2026 года; её отправил Чжан. В аннотации сказано, что авторы доказывают, что константа KLS ψ_n сверху ограничена универсальной константой C, тем самым разрешая гипотезу, а также устанавливают универсальную верхнюю границу для константы Пуанкаре любой изотропной лог-вогнутой вероятностной меры.

В формальной формулировке гипотеза, выдвинутая в 1995 году, спрашивает, существует ли универсальная положительная константа, которой снизу ограничена константа Чигера любой изотропной лог-вогнутой вероятностной меры в n-мерном пространстве. Если выразить это проще, как в публикации Microsoft Research, вопрос состоит в том, верно ли, что для широкого класса вероятностных распределений в пространствах высокой размерности наилучший разрез плоскостью или гиперплоскостью всегда почти так же эффективен, как наилучший разрез любой формы, а различие между ними не превышает универсальной константы независимо от числа измерений. Геометрия таких разрезов определяет, насколько быстро случайные блуждания могут исследовать распределение, поэтому эта гипотеза занимает центральное место в теории выборки в пространствах высокой размерности.

До этой работы наилучшим известным результатом была статья Брэйдена Летвина объёмом 21 страницу «Константа KLS имеет порядок O(log^{1/4} n)», отправленная 27 июля 2026 года. В ней было установлено, что ψ_n не превышает константу, умноженную на log^{1/4} n; как отмечается в публикации Microsoft Research, эта оценка всё же медленно росла с увеличением числа измерений. Новый результат даёт фиксированную оценку, не зависящую от размерности.

Важность этой гипотезы признавали задолго до её доказательства. В публикации отмечается, что в годовом отчёте Mathematical Sciences Research Institute за 2017–18 годы KLS названа одной из центральных нерешённых проблем выпуклой геометрии в высоких размерностях, Simons Institute охарактеризовал её как одну из важнейших нерешённых проблем выпуклой геометрии, а Ронен Элдан указал на её широкие последствия в материалах Международного конгресса математиков 2022 года.

Исследовательский процесс с агентами ИИ под руководством человека

Согласно публикации, авторы начали с попытки улучшить результат, полученный в июле 2026 года. В ходе структурированного процесса с агентами ИИ, направляемого человеком, они рассмотрели более 100 возможных подходов, многие из которых требовали длительных вычислений с тензорами высших порядков, и сформулировали новый математический критерий, который лёг в основу окончательного доказательства.

Затем авторы обнаружили, что критерий можно применять рекурсивно: каждую улучшенную оценку подставлять в то же рассуждение, чтобы получить ещё более точную. В версии статьи от 1 октября 2026 года это позволило свести зависимость от размерности к итерационному логарифму. Он растёт крайне медленно, но всё же увеличивается с размерностью, поэтому гипотеза ещё не была доказана. На заключительном этапе авторы повторили всю процедуру рекурсивного уточнения, а не применили её лишь один раз. По словам авторов публикации, эту идею подсказала их более ранняя работа над быстрыми алгоритмами линейного программирования. Авторы доказали, что небольшие погрешности, возникающие на каждом этапе, убывают достаточно быстро, так что их суммарная величина ограничена универсальной константой, не зависящей от размерности. Это завершило доказательство в версии статьи от 4 октября 2026 года.

В публикации говорится, что рекурсивный метод, его многократное применение и доказательство ограниченности совокупной погрешности — оригинальные разработки исследователей. Инструменты ИИ помогали изучать возможные подходы, выполнять подробные выводы, готовить рукопись и проводить внутренние проверки доказательства. При этом исследователи определяли математическое направление работы, выбирали перспективные идеи, объединяли их в окончательное рассуждение и проверяли доказательство. Этот метод описывается как агентный поиск с итеративным отбором при участии человека: пока несколько агентов параллельно изучали варианты одной идеи, исследователь анализировал промежуточные результаты, отбрасывал бесперспективные направления и передавал наиболее многообещающий результат на следующий этап. До ключевого прорыва было исследовано около ста вариантов работы.

В рамках отдельного направления проекта авторы неоднократно пытались без дополнительного руководства решить ту же задачу с помощью нескольких ведущих моделей ИИ, используя примерно такой же общий бюджет токенов, как и в основном процессе. По сообщению публикации, эти попытки не привели к цели. Как отмечается в публикации, успех в итоге зависел и от возможностей систем ИИ, и от математической интуиции исследователей. В публикации выражена благодарность Суну за его вклад в работу, а также Виктору Рейсу и Ишаю Менаше за обсуждения на протяжении всего проекта.

Независимые доказательства и машинная проверка

4 октября 2026 года, в тот же день, когда было опубликовано полное доказательство, Пьер Бизёль, Боаз Клартаг и Жозеф Лек опубликовали подготовленное параллельно доказательство объемом 32 страницы под названием «Представление доказательства гипотезы Каннана—Ловаса—Симоновица». В аннотации к статье говорится, что «ключевым шагом в доказательстве стал совсем недавно сформулированный критерий Сонга и Чжана, использующий производные высокого порядка от усреднений по наклонам»; в комментариях на arXiv также отмечено, что в статье есть абзац об использовании ИИ. В аннотации гипотеза KLS наряду с задачей Бургейна о сечениях и гипотезой о дисперсии названа одной из движущих сил математического развития геометрии высоких размерностей в последние десятилетия.

Кришнакумар Баласубраманиан и Шива Касивисванатан опубликовали отдельное доказательство под названием «Не зависящая от размерности оценка постоянной Пуанкаре для изотропных логарифмически вогнутых мер». Оно было впервые представлено 6 октября 2026 года, а 8 октября 2026 года авторы внесли исправленную версию. В аннотации говорится, что это детерминированное вариационное доказательство с явной оценкой 25 для постоянной Пуанкаре любой изотропной логарифмически вогнутой вероятностной меры.

Затем появилась формализация на Lean 4 под названием KLS500, в которой для каждого изотропного логарифмически вогнутого вероятностного распределения формализована не зависящая от размерности оценка постоянной Пуанкаре, не превышающая 500. Согласно репозиторию, разработка в основном опирается на подход Бизёля, Клартага и Лека, основанный на кумулянтах и суспензии, и включает критерий Сонга и Чжана, связывающий наклон и спектр. При проверке заново были собраны 1710 математических модулей с нулевым уровнем доверия к ядру. Проверка в Lean также подтвердила точную формулировку гипотезы KLS, заданную OpenAI, с универсальной постоянной Пуанкаре 500. Проект распространяется по лицензии Apache 2.0.

В публикации Microsoft Research независимые доказательства названы одной из наиболее убедительных форм проверки в математике, поскольку они показывают, что результат не зависит от единственной цепочки рассуждений. Как отмечается в публикации, теперь, когда гипотеза доказана, результаты, ранее опиравшиеся на нее как на предположение, можно формулировать без дополнительных условий. Авторы сократили свое доказательство и проверили упрощенный вариант рассуждения в Lean; в публикации сообщается, что после окончательной проверки они планируют опубликовать и сокращенное доказательство, и его формализацию.