Buckmaster en Alpöge publiceren AI‑vloeistof‑blow‑up‑bewijzen, details over OpenAI‑gesprekken

NYU‑wiskundige Tristan Buckmaster en Anthropic‑onderzoeker Levent Alpöge hebben openbaar drie preprints geplaatst waarin een eindige‑tijd blow‑up met gladde kracht wordt aangetoond voor de incompressibele poreuze‑medium‑vergelijking, het tweedimensionale Boussinesq‑systeem en de driedimensionale incompressibele Euler‑vergelijkingen, naast Lean‑formaliseringen van de bewijzen. In een verklaring die met de preprints werd geplaatst vertelt Buckmaster ook over contacten met OpenAI waarin, zo schrijft hij, het bedrijf hem vertelde dat een intern model een ongeveer 100‑pagina’s tellend bewijs van eindige‑tijd blow‑up voor de geforceerde Navier–Stokes‑vergelijkingen had geproduceerd — een van de richtingen van een van de Millennium‑prijs‑problemen van het Clay Mathematics Institute. De officiële probleempagina van Clay blijft de Navier–Stokes‑existentie‑en‑gladheidsvraag als onopgelost vermelden. OpenAI had op 8 september 2026 geen aankondiging van een dergelijk resultaat op haar nieuwspagina gepubliceerd, en Buckmaster stelt dat hij het bewijs niet heeft gezien.

De Gepubliceerde Resultaten

De preprints dragen het blow‑up‑programma van Diego Córdoba en Luis Martínez‑Zoroa over gladde kracht over drie modelvergelijkingen. Het Euler‑paper bouwt een eindige‑tijd singulariteit voor de incompressibele Euler‑vergelijkingen in driedimensionale ruimte met een kracht die glad blijft in ruimte en tijd tot en met het moment van de blow‑up. De beginsnelheid is glad, axialsymmetrisch met een niet‑nul swirl en een nul meridiaal component, en wordt ondersteund in een vaste solide torus; de vorticiteit‑ en circulatie‑gradientnormen gaan naar oneindig op het eindtijdstip, en de oplossing blijft glad en uniek in een gespecificeerde eind‑energie‑klasse op elk eerder gesloten interval. Het artikel beschrijft de constructie als een voortzetting van het Córdoba–Martínez‑Zoroa‑programma over singulariteitsvorming via interacterende lagen op steeds kleinere schalen.

Het Boussinesq‑paper bewijst een eindige‑tijd blow‑up voor het inviscide Boussinesq‑systeem op het vlak met gladde kracht in beide vergelijkingen, voortkomend uit een gladde, compact ondersteunde initiële temperatuur en nul initiële snelheid. De temperatuur blijft begrensd terwijl de norm van haar gradient naar oneindig gaat en de vorticiteit‑norm een oneindige limsup heeft, waarbij beide krachten glad zijn in elke gemengde afgeleide op het gesloten tijdsinterval en ondersteund worden in één vaste bol. Het IPM‑paper, mede‑auteur Matei P. Coiculescu, bewijst een eindige‑tijd blow‑up voor de incompressibele poreuze‑medium‑vergelijking op de tweedimensionale torus met een uniform ruimte‑tijd gladde kracht, en breidt een eerder Córdoba–Martínez‑Zoroa‑resultaat uit waarvan de kracht alleen in de ruimte glad was.

Alle drie de werken werden geverifieerd in de Lean‑proof‑assistant, en de auteurs plaatsten de formaliseringen in een openbare repository met afzonderlijke Euler‑ en Boussinesq‑blow‑up‑modules. In zijn verklaring schrijft Buckmaster dat hij en Alpöge ook geloven dat zij een blow‑up hebben voor hypo‑dissipatieve Navier–Stokes, maar dat zij dat paper niet uitbrengen omdat de Lean‑verificatie nog niet voltooid is en er geen presenteerbare uitwerking bestaat.

LLM’s in de Bewijzen

De auteurs geven een intensief gebruik van grote taalmodellen gedurende het project toe. Het IPM‑paper stelt dat de auteurs Anthropic’s Claude gebruikten om sleutelonderdelen van het eerdere Córdoba–Martínez‑Zoroa‑bewijs te identificeren en het argument te reproduceren, en dat ze Claude en OpenAI’s Codex gebruikten om de hoofdtekst te schrijven, waarbij de administratie van inductieve orders en constanten aan de modellen werd gedelegeerd onder leiding van de auteurs; de inleiding werd geschreven door de genoemde auteurs. De AI‑verklaring van het Boussinesq‑paper meldt dat het duo hun eerste blow‑up‑oplossing op 15 augustus 2026 verkreeg, en dat deze op 22 augustus 2026 door Lean werd geverifieerd, en dat ze de uitwerkingen iteratief bewerkten met Claude en Codex, later modellen met de namen 5.6 Sol en Astra gebruikend, waarbij de laatste alleen voor uitwerkingen en het auditen van argumenten werd ingezet. Buckmaster’s verklaring zegt dat het eerste door een LLM gegenereerde bewijs dat Alpöge hem stuurde “het meest afschuwelijke dat ik ooit heb gelezen” was, en de Boussinesq‑AI‑verklaring noemt de eerste door een model geproduceerde uitwerking de slechtste die de auteurs ooit in de wiskunde hebben gezien. Buckmaster beschrijft de vrijgegeven Euler‑uitwerking als dichter bij modeloutput onder menselijke sturing dan bij een door mensen geschreven artikel, verontschuldigt zich voor de presentatie en wijst op externe druk voor de versnelde publicatie.

Buckmaster schrijft dat de samenwerking puur persoonlijk was, zonder institutionele overeenkomsten of officiële betrokkenheid van een van de werkgevers, en dat hij de tools, inclusief een grote OpenAI‑rekening, uit eigen onderzoeksbudget heeft betaald. Hij kent de basisideeën van het programma toe aan Córdoba en Martínez‑Zoroa, en schrijft dat het duo al meerdere jaren geforceerde blow‑up‑constructies heeft onderzocht en dat, naar zijn mening, Martínez‑Zoroa een Fields‑medaille verdient.

De Betwiste Contacten

De tweede helft van Buckmaster’s verklaring is zijn verslag van gebeurtenissen beginnend op 3 september 2026, toen, met een gerucht dat Anthropic een groot open probleem had opgelost, hij een wiskundige bij OpenAI mailde om te verduidelijken dat het werk een persoonlijke samenwerking was en binnenkort zou worden gepost. Hij schrijft dat na het verzoek om een latere vergadering, hem werd gevraagd op 6 september af te spreken, en dat hij en de wiskundige, vergezeld door OpenAI’s Sébastien Bubeck, die middag twee keer spraken zonder Alpöge aanwezig.

Tijdens die gesprekken schrijft Buckmaster dat hem werd verteld dat een intern OpenAI‑model een bewijs van eindige‑tijd blow‑up voor de geforceerde Navier–Stokes‑vergelijkingen had geproduceerd, met bestaan zowel in de driedimensionale Euclidische ruimte als op de drie‑torus en met een kracht die glad is onder twee van de opties in Charles Fefferman’s officiële verklaring van het Clay‑probleem. Hij vertelt dat men zei dat het bewijs ongeveer 100 pagina’s besloeg en dat er “zeer weinig menselijke input” was gebruikt — een karakterisering die hij zegt dat tijdens het gesprek uiteenviel toen bleek dat een team aan het probleem had gewerkt, het model eerst op gemakkelijkere problemen zoals Euler had gezet, en zelfs de weergegeven prompt had geschreven door Codex te prompten. Buckmaster schrijft dat uiteindelijk werd overeengekomen dat de eerste prompt enkele dagen eerder was verstuurd, nadat informatie over het werk van het duo OpenAI had bereikt. Toen hij vroeg of het model getraind was op of toegang had tot hun Codex‑sessies, waarin ze alle concepten van het project hadden geplaatst, kreeg hij te horen dat het model geen gebruikersgegevens opzoekt; op de vraag over training schrijft hij: “Ik kreeg geen antwoord.”

Buckmaster beschrijft twee voorstellen die, volgens hem, aan hem werden voorgelegd: dat het duo hun Euler‑resultaat publiceert met OpenAI die de volgende dag haar Navier–Stokes‑resultaat publiceert, of dat Buckmaster alleen een paper schrijft waarin het Navier–Stokes‑resultaat wordt gepresenteerd, met erkenning dat een intern OpenAI‑model het had opgelost. Hij schrijft dat Bubeck tweemaal stelde dat hij Alpöge uit de auteurslijst wilde verwijderen, verwijzend naar Alpöge’s dienstverband bij Anthropic, en dat er werd gezegd dat OpenAI, indien ze na het duo publiceerden, hen zou crediteren als verdieners van de Clay‑prijs en als de “dichtstbijzijnde mensen bij het probleem.” Buckmaster schrijft dat hij beide aanbiedingen afwees en zei dat hij openbaar zou gaan als OpenAI het resultaat zou vrijgeven zoals voorgesteld; hij herinnert zich het antwoord: “Waarom zou je je carrière ruïneren?” gevolgd, nadat hij vroeg waarom openbaar gaan zijn carrière zou ruïneren, door “Als je niet wilt dat ik aardig ben, hoef ik niet aardig te zijn.”

Buckmaster stelt duidelijk wat hij niet claimt: hij heeft het bewijs van OpenAI niet gezien, weet niet wat het model deed of hoe, en weet niet of de gegevens van het duo zijn gebruikt. “Ik beschuldig niemand van iets,” schrijft hij. “Ik geef weer wat mij is verteld, wanneer, en wat mij is voorgesteld.” Hij voegt toe dat als een OpenAI‑model de kloof naar Navier–Stokes heeft overbrugd, “dat een opmerkelijke zaak is en het luid moet worden uitgesproken, door hen, met de geschiedenis intact.”

De miljoen-dollar Millennium‑prijs van het Clay Institute vraagt, volgens Fefferman’s formulering, om een bewijs dat ofwel gladde oplossingen van de driedimensionale Navier–Stokes‑vergelijkingen voor alle tijd bestaan, ofwel dat ze in eindige tijd falen; de gepubliceerde preprints behandelen de geforceerde Euler‑, Boussinesq‑ en IPM‑vergelijkingen, die de viscositeitsterm missen die Navier–Stokes onderscheidt.