Buckmaster en Alpöge publiceren AI‑vloeistof‑blow‑up‑bewijzen, betwisten OpenAI‑contact

NYU‑wiskundige Tristan Buckmaster en Anthropic‑onderzoeker Levent Alpöge hebben publiekelijk drie preprints geplaatst waarin een eindige‑tijd‑blow‑up met gladde dwang wordt aangetoond voor de incompressibele poreuze‑medium‑vergelijking, het tweedimensionale Boussinesq‑systeem en de driedimensionale incompressibele Euler‑vergelijkingen, naast Lean‑formaliseringen van de bewijzen. In een verklaring die met de preprints is geplaatst vertelt Buckmaster ook over contacten met OpenAI, waarin, zo schrijft hij, het bedrijf hem vertelde dat een intern model een ongeveer 100‑pagina’s tellend bewijs van eindige‑tijd‑blow‑up voor de gedwongen Navier–Stokes‑vergelijkingen had geproduceerd — de richting van een van de Millennium‑prijsproblemen van het Clay Mathematics Institute. De officiële probleempagina van Clay blijft de Navier–Stokes‑existentie‑en‑gladheidsprobleem vermelden als onopgelost. OpenAI had op 8 september 2026 geen aankondiging van een dergelijk resultaat op haar nieuwspagina gepubliceerd, en Buckmaster stelt dat hij het bewijs niet heeft gezien.

De Geposte Resultaten

De preprints dragen het blow‑up‑programma van Diego Córdoba en Luis Martínez‑Zoroa over op gladde dwang voor drie model‑vergelijkingen. Het Euler‑artikel construeert een eindige‑tijd‑singulariteit voor de incompressibele Euler‑vergelijkingen in driedimensionale ruimte met een kracht die glad blijft in ruimte en tijd tot en met het blow‑up‑moment. De beginsnelheid is glad, asymmetrisch met niet‑nul draaicirkel en nul meridiaal component, en wordt ondersteund in een vaste solide torus; de vorticiteit‑ en circulatie‑gradiënt‑normen gaan naar oneindig op het eindmoment, en de oplossing blijft glad en uniek in een opgegeven eind‑energie‑klasse op elk eerder gesloten interval. Het artikel beschrijft de constructie als een voortzetting van het Córdoba‑Martínez‑Zoroa‑programma over singulariteitsvorming via interactieve lagen op steeds kleinere schalen.

Het Boussinesq‑artikel bewijst eindige‑tijd‑blow‑up voor het inviscide Boussinesq‑systeem op het vlak met gladde dwang in beide vergelijkingen, vanuit een glad, compact ondersteund beginsnelheidstemperatuurveld en nul beginsnelheid. De temperatuur blijft begrensd terwijl de gradiënt‑norm naar oneindig gaat en de vorticiteit‑norm een oneindige limsup heeft, waarbij beide krachten glad zijn in elke gemengde afgeleide op het gesloten tijdsinterval en ondersteund in één vaste bol. Het IPM‑artikel, mede‑auteurschap met Matei P. Coiculescu, bewijst eindige‑tijd‑blow‑up voor de incompressibele poreuze‑media‑vergelijking op de tweedimensionale torus met een uniform ruimte‑tijd‑gladde kracht, en breidt een eerder Córdoba‑Martínez‑Zoroa‑resultaat uit waarvan de dwang alleen in de ruimte glad was.

Alle drie de werken werden geverifieerd in de Lean‑bewijshulp, en de auteurs plaatsten de formaliseringen in een openbaar repository dat afzonderlijke Euler‑ en Boussinesq‑blow‑up‑modules bevat. In zijn verklaring schrijft Buckmaster dat hij en Alpöge ook geloven een blow‑up voor hypodissipatieve Navier–Stokes te hebben, maar dat ze dat artikel niet uitgeven omdat de Lean‑verificatie nog niet voltooid is en er nog geen presenteerbare manuscript bestaat.

LLM’s in de Bewijzen

De auteurs geven een intensief gebruik van grote taalmodellen (LLM’s) door het hele project toe. Het IPM‑artikel vermeldt dat de auteurs Anthropic’s Claude gebruikten om sleutelonderdelen van het eerdere Córdoba‑Martínez‑Zoroa‑bewijs te identificeren en het argument te reproduceren, en Claude en OpenAI’s Codex inzetten om de hoofdtekst te schrijven, waarbij het bijhouden van inductieve orden en constanten aan de modellen werd overgelaten onder leiding van de auteurs; de inleiding werd geschreven door de genoemde auteurs. De AI‑verklaring van het Boussinesq‑artikel meldt dat het duo hun eerste blow‑up‑oplossing op 15 augustus 2026 verkreeg en deze op 22 augustus 2026 Lean‑geverifieerd heeft, en dat ze de manuscripten iteratief bewerkten met Claude en Codex, later gebruikmakend van modellen genaamd 5.6 Sol en Astra, waarbij Astra alleen werd ingezet voor manuscripten en het auditen van argumenten. Buckmaster’s verklaring zegt dat het eerste door een LLM‑gegenereerde bewijs dat Alpöge hem stuurde “het meest afschuwelijke was dat ik ooit heb gelezen”, en de Boussinesq‑AI‑verklaring noemt de eerste model‑gegenereerde manuscript het slechtste dat de auteurs ooit in de wiskunde hebben gezien. Buckmaster beschrijft het vrijgegeven Euler‑manuscript als meer een modeloutput onder menselijke sturing dan een door mensen geschreven artikel, biedt zijn excuses aan voor de presentatie en wijst op externe druk voor de versnelde publicatie.

Buckmaster schrijft dat de samenwerking puur persoonlijk was, zonder institutionele overeenkomsten of officiële betrokkenheid van een van beide werkgevers, en dat hij de tools, inclusief een grote OpenAI‑rekening, uit eigen onderzoeksbudget heeft betaald. Hij kent de basisideeën van het programma toe aan Córdoba en Martínez‑Zoroa, en schrijft dat het duo al jaren geforceerde blow‑up‑constructies onderzoekt en dat, naar zijn mening, Martínez‑Zoroa een Fields‑medaille verdient.

De Betwiste Contacten

Het tweede deel van Buckmaster’s verklaring is zijn verslag van gebeurtenissen vanaf 3 september 2026, toen, te midden van een gerucht dat Anthropic een groot open probleem had opgelost, hij een wiskundige bij OpenAI mailde om te verduidelijken dat het werk een persoonlijke samenwerking was en spoedig zou worden geplaatst. Hij schrijft dat, nadat hij om een latere afspraak vroeg, hem werd verzocht op 6 september af te spreken, en dat hij en de wiskundige, samen met OpenAI’s Sébastien Bubeck, die middag twee keer spraken zonder Alpöge aanwezig.

Tijdens die gesprekken vertelt Buckmaster dat een intern OpenAI‑model een bewijs van eindige‑tijd‑blow‑up voor de gedwongen Navier–Stokes‑vergelijkingen had geproduceerd, met bestaan zowel in driedimensionale Euclidische ruimte als op de driedimensionale torus, en dat de dwang glad was onder twee van de opties in Charles Fefferman’s officiële verklaring van het Clay‑probleem. Hij herinnert zich dat het bewijs ongeveer 100 pagina’s besloeg en dat “zeer weinig menselijke input” was gebruikt — een karakterisering die volgens hem tijdens het gesprek uiteen viel toen bleek dat een team aan het probleem had gewerkt, eerst het model op eenvoudigere problemen zoals Euler had gezet, en zelfs de weergegeven prompt had geschreven door Codex te prompten. Buckmaster schrijft dat uiteindelijk werd overeengekomen dat de eerste prompt enkele dagen eerder was verzonden, nadat informatie over het werk van het duo OpenAI had bereikt. Toen hij vroeg of het model getraind was op of toegang had tot hun Codex‑sessies, waarin ze alle concept‑versies van het project hadden geplaatst, kreeg hij te horen dat het model geen gebruikersdata opzoekt; op de vraag over training schreef hij: “Ik kreeg geen antwoord.”

Buckmaster beschrijft twee voorstellen die volgens hem aan hem werden gedaan: dat het duo hun Euler‑resultaat zou publiceren met OpenAI die de Navier–Stokes‑resultaten de volgende dag publiceert, of dat Buckmaster alleen een artikel zou schrijven dat het Navier–Stokes‑resultaat presenteert terwijl hij erkent dat een intern OpenAI‑model het had opgelost. Hij schrijft dat Bubeck tweemaal stelde dat hij Alpöge uit de auteurslijst wilde verwijderen, verwijzend naar Alpöge’s dienstverband bij Anthropic, en dat er werd gezegd dat OpenAI, indien zij na het duo publiceerden, hen zou crediteren als verdieners van de Clay‑prijs en als “de dichtstbijzijnde mensen bij het probleem”. Buckmaster schrijft dat hij beide aanbiedingen afwees en zei dat hij openbaar zou gaan als OpenAI het resultaat zou vrijgeven zoals voorgesteld; hij herinnert zich de reactie: “Waarom zou je je carrière ruïneren?” gevolgd, nadat hij vroeg waarom openbaar gaan zijn carrière zou ruïneren, door “Als je niet wilt dat ik aardig ben, hoef ik niet aardig te zijn.”

Buckmaster stelt duidelijk wat hij niet claimt: hij heeft het OpenAI‑bewijs niet gezien, weet niet wat het model heeft gedaan of hoe, en weet niet of de data van het duo is gebruikt. “Ik beschuldig niemand van iets,” schrijft hij. “Ik geef weer wat mij is verteld, wanneer, en wat mij werd voorgesteld.” Hij voegt eraan toe dat als een OpenAI‑model de kloof naar Navier–Stokes heeft overbrugd, “dat een opmerkelijke gebeurtenis is en dat het luid moet worden gezegd, door hen, met de geschiedenis intact.”

De miljoen‑dollar Millennium‑prijs van het Clay Institute vraagt, in Fefferman’s formulering, om een bewijs dat ofwel gladde oplossingen van de driedimensionale Navier–Stokes‑vergelijkingen voor alle tijd bestaan, ofwel dat ze in eindige tijd afbreken; de geposte preprints behandelen de gedwongen Euler‑, Boussinesq‑ en IPM‑vergelijkingen, die geen viscositeitsterm bevatten die Navier–Stokes onderscheidt.