Tekoäly ratkaisee Erdősin ongelmia. Mitä seuraavaksi?

Vain muutama kuukausi sitten, kysymys tuntui enimmäkseen filosofiselta: jos tekoäly voi auttaa ratkaisemaan avoimia matemaattisia ongelmia, mitä tapahtuu ihmisen nerouden idealle?

Kysymys ei ole enää teoreettinen. Kahden viimeaikaisen kehityksen, jotka liittyvät OpenAI:hin ja Google DeepMindiin, ansiosta voidaan sanoa, että tekoäly siirtyy matemaattisesta avustajasta matemaattiseksi osallistujaksi. Tämä ei tarkoita, että matemaatikoita korvataan kokonaan, vaan tarkemmin ja olennaisemmin sitä, että tekoäly voi tuottaa, etsiä, tarkistaa ja joskus löytää argumentteja, jotka voivat kestää asiantuntijoiden tarkastelun.

Ensimmäinen kehitys tuli OpenAI:ltä, joka ilmoitti, että sisäinen yleiskäyttöinen päättelymalli oli saavuttanut läpimurron tason yksikköetäisyysongelmassa, joka on Paul Erdősin vuonna 1946 esittämä kuuluisa kysymys. Ongelma kysyy, kuinka monta täsmälleen yhden yksikön etäisyydellä toisistaan olevaa pisteparia tasolla voi olla. Vuosikymmenien ajan vallinnut käsitys oli, että neliöhilan kaltaiset konstruktiot ovat käytännössä optimaalisia. OpenAI:n malli löysi uuden konstruktioiden perheen, joka osoitti, että tämä käsitys oli väärä.

Toinen kehitys tuli Google DeepMind -tutkijoilta, jotka julkaisivat tutkimuksen otsikolla “Matematiikan tutkimuksen edistäminen tekoälyohjatulla muodollisella todistushaulla”. Heidän järjestelmänsä, AlphaProof Nexus, arvioi tekoälyohjattua todistusten tuottamista avoimilla tutkimustasoisilla ongelmilla ja raportoi, että sen vahvin agentti ratkaisi itsenäisesti 9 avointa Erdős-ongelmaa 353:sta. Se myös todisti 44 avointa otaksumaa Online Encyclopedia of Integer Sequences -tietokannan 492 otaksumasta.

Yhdessä nämä tulokset merkitsevät muutosta. Tärkeä tarina ei ole siinä, että tekoäly on yhtäkkiä ratkaissut matematiikan. Se ei ole. Tärkeä tarina on siinä, että tekoälyjärjestelmät alkavat toimia itse tutkimusprosessin sisällä.

Miksi Erdős-ongelmat ovat vakava testi tekoälylle

Paul Erdős oli yksi historian tuotteliaimmista matemaatikoista, ja hänen työhönsä liittyvät ongelmat ovat erityinen osa matematiikkaa. Monet niistä ovat helppoja esittää, mutta vaikeita ratkaista, ja ne liittyvät syvällisesti alueisiin kuten kombinatoriikkaan, lukuteoriaan, graafiteoriaan ja diskreettiin geometriaan.

Näin ollen ne ovat poikkeuksellisen hyödyllisiä tekoälyn päättelykyvyn mittareina. Ne eivät ole koulutehtäviä. Ne eivät myöskään aina ole jättimäisiä, teorianmurtavia otaksumia kuten Riemannin hypoteesi. Sen sijaan monet Erdős-ongelmat sijaitsevat keskitasolla, jossa edistyminen riippuu oikean yhteyden, oikean rakenteen tai oikean aiemmin huomiotta jääneen lemman löytämisestä.

Tämä on juuri se paikka, jossa tekoäly voi olla hyödyllisin aluksi. Nykyaikaiset päättelyjärjestelmät eivät ole pelkästään laskimia. Ne voivat tutkia useita mahdollisia todistusreittejä, vertailla osittaisia strategioita, hakea kaukaisia ideoita läheisistä aloista ja testata, voidaanko argumentti tehdä tarkaksi.

OpenAI:n tulos on merkittävä, koska malli ei ainoastaan hionut tunnettua reittiä. Se löysi odottamattoman sillan diskreetin geometrian ja algebrallisen lukuteorian välille. Tämä on juuri sellainen konseptuaalinen hyppy, jonka matemaatikot yleensä liittävät aitoon luovuuteen.

OpenAI ja yksikköetäisyyden läpimurto

Tason yksikköetäisyysongelma on helppo kuvata. Sijoita n pistettä tasolle. Laske, kuinka monta pisteparia on täsmälleen yhden yksikön etäisyydellä toisistaan. Tavoitteena on ymmärtää, kuinka suureksi tämä lukumäärä voi kasvaa, kun n kasvaa.

Melkein 80 vuoden ajan matemaatikot epäilivät, että parhaat rakenteet eivät olisi dramaattisesti parempia kuin neliöhiloihin perustuvat asetelmat. OpenAI:n malli haastoi tämän oletuksen tuottamalla äärettömän esimerkkiperheen, joka ylitti odotetun rajan polynomisella parannuksella.

Tämä on merkittävää kahdesta syystä. Ensinnäkin se muuttaa matemaattista kuvaa. Se viittaa siihen, että lukuteoreettisilla konstruktioilla voi olla enemmän annettavaa diskreetille geometrialle kuin monet tutkijat olettivat. Toisekseen se muuttaa tekoälyn kuvaa. Malli, jota käytettiin, kuvailtiin yleiskäyttöiseksi päättelymalliksi, ei järjestelmäksi, joka on rakennettu ainoastaan tähän tiettyyn ongelmaan.

Toisin sanoen järjestelmä näyttää siirtävän päättelyvoimaa tuntemattomaan tutkimusympäristöön. Se ei ainoastaan toistanut ulkoa tunnettua todistusta. Se tuotti tuloksen, jota ulkopuoliset matemaatikot pitivät merkittävänä panoksena.

Google DeepMind ja muodollinen todistushaku

Google DeepMind -tutkijoiden tutkimus käsittelee toista, yhtä tärkeää kysymystä: miten tekoälymatematiikka voidaan tehdä luotettavaksi?

Kielimallit voivat tuottaa elegantin näköisiä argumentteja, jotka sisältävät hienoisia virheitä. Normaalissa prosassa nämä virheet voivat olla vaikeita havaita. Matematiikassa yksi väärä askel voi mitätöidä koko todistuksen. Tämän vuoksi muodolliset todistusjärjestelmät kuten Lean ovat tärkeitä. Lean ei välitä, kuinka vakuuttava argumentti kuulostaakaan. Jokainen looginen askel on tarkistettava.

AlphaProof Nexus käyttää tätä rajoitetta osana työnkulkua. Tekoälyagentit tuottavat todistusyrityksiä Leanissa, saavat palautetta kääntäjältä, muokkaavat lähestymistapaansa ja jatkavat etsintää. Vahvempi versio koordinoi aliagentteja ja käyttää edistyneempiä todistustyökaluja kohdistamaan etsintää.

DeepMind -tulos on erityisen tärkeä, koska se yhdistää tekoälypäättelyn verifiointiin. Järjestelmään ei tarvitse luottaa samalla tavalla kuin luonnollisen kielen chatbottiin. Sen todistus joko kääntyy tai ei.

Mitä tämä merkitsee matematiikan tutkimukselle

Nykyisten tulosten opetus ei ole, että matemaatikot olisivat käyneet tarpeettomiksi, vaan että matematiikan pullonkaula saattaa muuttua.

Historiallisesti tutkija on joutunut tekemään lähes kaiken: muotoilla ongelma, kartoittaa kirjallisuus, testata ideoita, rakentaa todistus, tarkistaa jokainen askel ja viestiä tuloksesta. Tekoäly uhkaa jakaa tämän työn. Jotkin työnkulun osat voivat muuttua nopeammiksi, halvemmiksi ja automaattisemmiksi.

• Tekoäly voi tutkia useita todistusreittejä ennen kuin ihminen sitoutuu yhteen.
• Muodolliset järjestelmät voivat verifioida askelia, jotka muuten vaatisivat hitaata asiantuntija-arviointia.
• Tutkijat voivat käyttää tekoälyä etsimään ideoita toisistaan etäisiltä matematiikan osa-alueilta.

Tämä voi tuottaa uuden tutkimustavan. Sen sijaan, että pyytäisi tekoälyltä vastausta, matemaatikot saattavat yhä enemmän valvoa todistusagenttien laivueita. Ihmisen rooli muuttuu laskimen kaltaisesta laskijasta tutkimusjohtajaksi: valitsemaan oikeat ongelmat, tulkitsemaan tuloksia, havaitsemaan konseptuaalisen merkityksen ja päättämään, mitkä polut ansaitsevat syvemmän huomion.

Rajoitukset ovat edelleen todellisia

On tärkeää olla liioittelematta tämän hetken saavutuksia. Google DeepMind -järjestelmä ratkaisi 9 tarkastelluista 353 Erdős-ongelmasta. Se on vaikuttavaa, mutta se myös tarkoittaa, että useimmat ongelmat jäivät ratkaisematta. OpenAI:n yksikköetäisyyden tulos on merkittävä, mutta se ei tarkoita, että jokainen kuuluisa otaksuma olisi nyt helppo ratkaista.

Tekoälyjärjestelmät kamppailevat edelleen, kun ongelma vaatii uuden konseptuaalisen kehyksen, kun asiaankuuluva matematiikka on huonosti formalisoitu tai kun todistus riippuu pitkistä oivallusten ketjuista, joita ei voida helposti hajottaa etsittäviksi askeliksi. Muodolliset todistuskirjastot ovat myös epätasaisia. Alueet, joilla on kypsä Lean-kattavuus, ovat helpommin tekoälyagenttien saatavilla kuin alueet, joilla perusmateriaali on edelleen koodattava.

• Järjestelmät ovat edelleen riippuvaisia ihmisten ongelmanvalinnasta ja tulkinnasta.
• Formalisoiminen voi olla vaikeaa, kun määritelmät ovat epäselviä tai kehittymättömiä.
• Tekoälytodistusyritykset voivat edelleen piilottaa vaikeaa työtä todistamattomiin apuväittämiin.

Nämä rajoitukset eivät ole epäonnistumisia. Ne selventävät, missä seuraavat edistysaskeleet on tehtävä. Paremmat lauseentodistusagentit, kattavammat formaalit kirjastot, vahvemmat varmennustyönkulut ja toimivammat ihmisen ja tekoälyn väliset käyttöliittymät ovat kaikki tärkeitä.

Mitä tapahtuu, kun tekoäly ratkaisee Erdős-ongelmat?

Todennäköisin lähitulevaisuus ei ole yksi dramaattinen hetki, jossa tekoäly ratkaisee koko matematiikan. Se on tekoälyavusteisen tutkimuksen jatkuva laajentuminen aloille, joilla on selkeät ongelmanmäärittelyt, vahvat muodolliset kirjastot ja laaja mutta hajanainen aiempi tutkimus.

Kombinatoriikka, graafiteoria, lukuteoria, optimointi ja diskreetti geometria ovat luonnollisia ensimmäisiä kohdealueita. Nämä alueet sisältävät usein ongelmia, joissa kysymys on tiivis, mutta ratkaisu riippuu ideoiden yhdistämisestä etäisistä paikoista. Tekoäly on hyvin soveltuva tällaiseen etsintään.

Ajan myötä sama malli voi laajentua matematiikan ulkopuolelle. Jos malli voi pitää vaikean argumentin koossa, testata väliväittämiä ja yhdistää ideoita eri aloilta, nämä kyvyt ovat tärkeitä fysiikassa, biologiassa, materiaalitieteessä, kryptografiassa ja itse tekoälytutkimuksessa.

Syvempi seuraus on kulttuurinen. Matematiikka on aina arvostanut todistuksia, mutta myös matemaattista arvostelukykyä: kykyä tietää, mikä kysymys on tärkeä, mikä abstraktio on keksittävä ja mikä tulos muuttaa alan muodon. Kun todistushaku automatisoituu, tällainen arvostelukyky saattaa muuttua entistä tärkeämmäksi.

Johtopäätös: Nerous siirtyy korkeamman tason tehtäviin

Vastaus aiempaan kysymykseen on nyt selvempi. Jos tekoäly voi ratkaista avoimia matemaattisia ongelmia, ihmisen nerous ei katoa. Se siirtyy korkeamman tason tehtäviin.

Harvinainen taito ei ole kyky jauhaa läpi jokaikista teknistä askelta yksin. Se on kyky asettaa oikeat kysymykset, kehittää oikeat abstraktiot, tulkita koneiden löytämien tulosten merkitystä ja ohjata tekoälyjärjestelmiä ongelmiin, jotka ovat tärkeitä.

OpenAI:n yksikköetäisyyden läpimurto ja Google DeepMind -tutkijoiden muodollisen todistushaun tulokset eivät sulje kirjaa ihmisen matemaattisesta luovuudesta. Ne avaavat uuden luvun, jossa matemaatikot voivat työskennellä järjestelmien kanssa, jotka voivat tutkia maisemaa nopeammin kuin yksittäinen mieli.

Matematiikan tulevaisuus ei välttämättä kuulu ihmisille tai koneille yksin. Se voi kuulua tutkijoille, jotka oppivat saamaan molemmat ajattelemaan yhdessä.