Výzkumník Microsoft Research a jeho spolupracovník dokazují 31 let starou KLS domněnku

Microsoft Research 21. října 2026 oznámil, že Xinzhi Zhang, vedoucí výzkumník ve skupině pro strojové učení a optimalizaci, a jeho spolupracovník Zhao Song dokázali Kannanovu–Lovászovu–Simonovitsovu domněnku, 31 let starý problém z oblasti vysokodimenzionální geometrie a pravděpodobnosti, a to pomocí člověkem řízeného výzkumného procesu s agentní umělou inteligencí.

Domněnka a nový odhad

Důkaz je uveden ve 140stránkovém článku O(1) odhad KLS konstanty, jehož autory jsou Zhao Song a Xinzhi Zhang. Článek byl poprvé odeslán na arXiv 1. října 2026 a revidován 4. října 2026; jako odesílající autor je uveden Zhang. Abstrakt uvádí, že autoři dokazují, že KLS konstanta ψ_n je shora omezena univerzální konstantou C, čímž domněnku řeší, a že zároveň dokazují univerzální odhad Poincarého konstanty každé izotropní log-konkávní pravděpodobnostní míry.

Formálně se domněnka navržená v roce 1995 ptá, zda má každá izotropní log-konkávní pravděpodobnostní míra v n-rozměrném prostoru Cheegerovu konstantu zdola omezenou univerzální kladnou konstantou. Jednodušeji řečeno, podle příspěvku Microsoft Research jde o otázku, zda je pro širokou třídu vysokodimenzionálních pravděpodobnostních rozdělení nejlepší rovinný řez neboli řez nadrovinou vždy téměř stejně účinný jako nejlepší řez libovolného tvaru, přičemž jejich účinnost se liší nejvýše o univerzální konstantu bez ohledu na počet rozměrů. Geometrie těchto řezů určuje, jak rychle mohou náhodné procházky prozkoumávat rozdělení, a proto domněnka hraje ústřední roli v teorii vysokodimenzionálního vzorkování.

Před touto prací byl nejlepším známým výsledkem 21stránkový článek KLS konstanta je O(log^{1/4} n) od Braydena Letwina, odeslaný 27. července 2026. Dokazoval, že ψ_n je nejvýše rovna konstantě krát log^{1/4} n; podle příspěvku Microsoft Research však tento odhad s rostoucím počtem rozměrů stále pomalu rostl. Nový výsledek platí s pevnou mezí, která se s dimenzí nemění.

Význam domněnky byl uznáván dlouho před jejím vyřešením. Příspěvek uvádí, že výroční zpráva Mathematical Sciences Research Institute za roky 2017–18 označila KLS za ústřední otevřený problém ve vysokodimenzionální konvexní geometrii, Simons Institute ji popsal jako jeden z nejdůležitějších otevřených problémů v konvexní geometrii a Ronen Eldan upozornil na její široké důsledky ve sborníku Mezinárodního kongresu matematiků z roku 2022.

Výzkumný proces s umělou inteligencí řízený člověkem

Podle příspěvku autoři začali prací na vylepšení výsledku z července 2026. V rámci strukturovaného procesu řízeného člověkem a za pomoci agentů umělé inteligence prozkoumali více než 100 možných přístupů, z nichž mnohé zahrnovaly zdlouhavé výpočty s tenzory vyšších řádů, a vytvořili nové matematické kritérium, které se stalo základem konečného důkazu.

Autoři poté zjistili, že kritérium lze použít rekurzivně: každý vylepšený odhad se znovu dosadí do téhož argumentu a vznikne ještě těsnější odhad. Ve verzi článku z 1. října 2026 se tak závislost na dimenzi zmenšila na iterovaný logaritmus, který roste mimořádně pomalu, ale s dimenzí přesto roste, takže domněnku ještě neřešil. Závěrečným krokem bylo zopakovat celý rekurzivní proces zpřesňování, nikoli jej použít pouze jednou; podle příspěvku tento nápad vycházel z dřívější práce autorů na rychlých algoritmech pro lineární programování. Autoři dokázali, že drobné chyby vznikající v každém kroku se zmenšují dostatečně rychle na to, aby jejich součet zůstal omezen univerzální konstantou nezávislou na dimenzi. Tím byl důkaz dokončen ve verzi z 4. října 2026.

Příspěvek uvádí, že rekurzivní metoda, její opakované použití a argument založený na omezené chybě jsou původními příspěvky výzkumníků. Nástroje umělé inteligence pomáhaly zkoumat možné přístupy, provádět podrobná odvození, připravovat rukopis a interně kontrolovat důkazy; výzkumníci přitom určovali matematické směřování, vybírali slibné nápady, skládali je do konečného argumentu a ověřovali důkaz. Příspěvek popisuje tuto metodu jako agentní hledání s iterativním výběrem za pomoci člověka: zatímco několik agentů souběžně zkoumalo různé varianty nápadu, výzkumník posuzoval průběžné výsledky, vyřazoval neperspektivní směry a nejperspektivnější výsledek předával do dalšího kola. Než se objevil klíčový průlom, prozkoumali přibližně sto výzkumných cest.

V samostatné části projektu se autoři několikrát pokusili vyřešit stejný problém bez vedení pomocí několika předních modelů umělé inteligence a přibližně stejného celkového rozpočtu tokenů, jaký využil hlavní proces. Příspěvek uvádí, že toto úsilí cíle nedosáhlo. Podle příspěvku závisel konečný úspěch jak na schopnostech systémů umělé inteligence, tak na matematickém úsudku výzkumníků. Příspěvek děkuje Songovi za jeho příspěvky k práci a Victorovi Reisovi a Ishaii Menacheovi za diskuse v průběhu celého projektu.

Nezávislé důkazy a strojové ověření

Dne 4. října 2026, tedy v den, kdy byl zveřejněn úplný důkaz, zveřejnili Pierre Bizeul, Boaz Klartag a Joseph Lehec paralelně vypracovaný 32stránkový důkaz nazvaný Předložení důkazu Kannanovy–Lovászovy–Simonovitsovy domněnky. Abstrakt článku uvádí, že „zásadním krokem v důkazu je velmi nedávné kritérium Songa a Zhanga, které se týká derivací vysokého řádu průměrů naklonění“, a komentáře na arXivu zmiňují, že článek obsahuje odstavec popisující využití AI. Abstrakt řadí KLS vedle Bourgainova problému řezu a domněnky o rozptylu mezi hybné síly matematického pokroku v oblasti geometrie vysokých dimenzí v posledních desetiletích.

Krishnakumar Balasubramanian a Shiva Kasiviswanathan zveřejnili samostatný důkaz s názvem Bezrozměrná horní mez Poincarého konstanty izotropních log-konkávních měr, který byl poprvé zaslán 6. října 2026 a revidován 8. října 2026. Jeho abstrakt popisuje deterministický variační důkaz s explicitní horní mezí 25 pro Poincarého konstantu libovolné izotropní log-konkávní pravděpodobnostní míry.

Následovala formalizace v Lean 4 nazvaná KLS500, která formalizovala bezrozměrnou Poincarého konstantu nejvýše 500 pro každé izotropní log-konkávní pravděpodobnostní rozdělení. Podle repozitáře vývoj vychází především z kumulantového a suspenzního přístupu Bizeula, Klartaga a Leheca, zahrnuje také kritérium naklonění a spektrální kritérium Songa a Zhanga a při jeho ověření bylo znovu sestaveno 1 710 matematických modulů s nulovou úrovní důvěry v jádro. Ověření v Lean prošlo také pro přesné znění KLS domněnky definované společností OpenAI, které používá univerzální Poincarého konstantu 500. Projekt je licencován pod Apache 2.0.

Příspěvek Microsoft Research označuje nezávislé důkazy za jednu z nejsilnějších forem ověření v matematice, protože ukazují, že výsledek nezávisí na jediném řetězci argumentace. Jak příspěvek uvádí, po vyřešení domněnky lze nyní výsledky, které se o ni dříve opíraly jako o předpoklad, formulovat bezpodmínečně. Autoři svůj důkaz zkrátili a zjednodušený argument ověřili v Lean; podle příspěvku plánují obojí zveřejnit po závěrečné kontrole.