OpenAI zegt dat intern AI‑systeem het Navier–Stokes‑probleem heeft opgelost

OpenAI kondigde op 8 september 2026 aan dat een intern AI‑systeem een bewijs leverde, vergezeld van een formalisatie in de Lean‑bewijsassistent, dat de Navier–Stokes‑vergelijkingen die de vloeistofbeweging beschrijven, in eindige tijd een singulariteit kunnen ontwikkelen. Het bedrijf zei dat het resultaat een van de Millennium Prize Problems oplost.

Wat het bewijs vaststelt

OpenAI deelde zowel een beschrijving van het bewijs als de Lean‑formalisatie. Volgens de aankondiging toont het bewijs aan dat een aanvankelijk gladde, stilstaande vloeistof, waarop een gladde kracht wordt uitgeoefend en waarvan de energie gedurende de volledige dynamiek eindig blijft, binnen een eindige tijd een singulariteit ontwikkelt. Versies “A” en “B” van de officiële probleemformulering zouden een bewijs opleveren, terwijl versies “C” en “D” een weerlegging zouden opleveren; OpenAI zei dat zijn systeem zowel “C” als “D” heeft vastgesteld, waarmee het probleem is opgelost.

De oplossing is een vortex, een ronddraaiende werveling van vloeistof die naar binnen spiraalt en steeds langer wordt. Het centrale gebied krimpt terwijl het versnelt op een manier waardoor de energie eindig blijft. De technische uitdaging, zei OpenAI, was dat de ineenstorting voortkwam uit de eigen beweging van de vloeistof in plaats van een opgelegde oneindige kracht: de termen die versnelling, drukgradiënten, impulsoverdracht en viscositeit beschrijven moeten sterk toenemen maar precies elkaar opheffen, waardoor een gladde externe kracht overblijft zelfs wanneer de snelheid van de vloeistof onbeperkt toeneemt.

OpenAI positioneerde de publicatie als een verslag over de voortgang van haar AI‑modellen en zei dat ze niet van plan is de Millennium‑Prize voor het resultaat op te eisen.

De geschiedenis van het probleem

De Navier–Stokes‑vergelijkingen passen de tweede wet van Newton toe op een vloeistof die wordt behandeld als een continu medium in plaats van een verzameling individuele moleculen, en ze worden gebruikt in vliegtuigontwerp, weersvoorspelling en de studie van bloedstroom. Een singulariteit betekent dat de snelheid van de vloeistof onbeperkt groeit binnen een eindige tijd, een gedrag dat een echte vloeistof niet kan vertonen. Het ontstaan ervan ondanks viscositeit, die beweging gladstrijkt, zou een ineenstorting van het continuümmodel betekenen, en de lang bestaande open vraag is of die ineenstorting kan optreden in een driedimensionale incompressibele vloeistof waarvan de beweging soepel begint.

De vergelijkingen stammen uit het negentiende-eeuwse werk van Claude‑Louis Navier en George Gabriel Stokes. In 1934 bewees Jean Leray dat oplossingen bestaan in een gegeneraliseerde zin, maar of ze altijd glad blijven bleef onbeantwoord. Het Clay Mathematics Institute benoemde Navier–Stokes in 2000 tot een van de zeven Millennium Prize Problems; de prijzen werden op 24 mei 2000 aangekondigd in het Collège de France in Parijs, en de Raad van Bestuur van CMI stelde een prijzengeld van 7 miljoen dollar beschikbaar, met 1 miljoen dollar toegewezen aan elk probleem. CMI’s problem page vermeldt Navier–Stokes als onopgelost, met de opmerking dat er geen bewijs bestaat voor de meest fundamentele vragen of oplossingen bestaan en uniek zijn. De Poincaré‑vermoeden is het enige opgeloste probleem van de zeven.

Het agentsysteem achter het bewijs

OpenAI meldde dat ze sinds 28 augustus 2026 een nieuw intern model trainen, dat ze beschrijven als aanzienlijk capabeler dan GPT-6 Astra, met wat zij ongekende prestaties in hun benchmarks noemen, inclusief wiskunde; de training van het model is nog gaande. Op 1 september 2026, na geruchten te hebben gehoord dat twee Millennium Prize‑problemen waren opgelost, startte het bedrijf een inspanning om het model te evalueren op alle open Millennium Prize‑problemen en enkele andere problemen met hoge impact.

De inspanning maakte gebruik van een systeem van coördinerende agents die werden aangedreven door het interne model, met toegang tot een gecachte versie van het internet en de mogelijkheid om code uit te voeren, onderverdeeld in groepen die binnen elke groep konden communiceren. De groep die de Navier–Stokes‑oplossing produceerde bestond uit ongeveer 10 000 gelijktijdige agents, die opereerden onder de monitoring‑ en isolatie‑maatregelen die OpenAI zegt toe te passen op al haar frontier‑model‑evaluaties.

Als voorlopige stap losten agents het regulariteitsprobleem voor de Euler‑vergelijkingen op, de limiet van Navier–Stokes waarbij de viscositeitsterm is weggelaten, in de ongeforceerde variant waarbij geen externe kracht wordt toegepast. Bijna 100 agents werkten ongeveer 50 uur aan die weerlegging, een resultaat dat OpenAI zei te hebben verrast. Het bedrijf schakelde de agents vervolgens over naar Navier–Stokes, gaf hen de Euler‑oplossing als prompt, werkte hen bij naar een verder getrainde versie van het model tijdens de inspanning, en gebruikte Codex om de meest bruikbare inzichten over de groepen heen te consolideren.

De agents bereikten de Navier–Stokes‑oplossing op 5 september 2026, ongeveer 88 uur na de lancering van de eerste agents; de Lean‑formalisatie en verificatie namen nog eens 17 uur in beslag via GPT-6 Astra. Over alle getrachtte problemen stuurden de agents 4,9 miljoen berichten en gebruikten ze ongeveer 300 miljard output‑tokens; het Navier–Stokes‑werk omvatte 2,7 miljoen berichten en circa 130 miljard output‑tokens.

Gelijktijdig werk en OpenAI’s verklaring

De aankondiging behandelt ook de omstandigheden rond de inspanning. OpenAI zei dat haar project op 1 september begon na een gerucht dat later werd gekoppeld aan Levent Alpöge, een Anthropic‑medewerker, en Tristan Buckmaster, een wiskundeprofessor aan NYU. Na voltooiing van het project en de Lean‑verificatie op 6 september 2026, en in de veronderstelling op basis van het gerucht dat het duo ook een Navier–Stokes‑oplossing had, zei OpenAI dat ze contact opnamen om een gelijktijdige publicatie van hun resultaat aan te bieden en hun prioriteit te erkennen in een gezamenlijke aankondiging; op dat moment kwam ze te weten dat ze een oplossing hadden voor het geforceerde Euler‑probleem. OpenAI zei dat ze het duo inzage boden in alle prompts die ze hadden gebruikt en later in het bewijs zelf, en dat ze de prioriteit van hun geforceerde Euler‑werk erkennen.

Met betrekking tot het gebruik van gegevens verklaarde OpenAI dat haar onderzoekers en agents geen enkel werk van het duo via welke weg dan ook hadden gezien totdat het publiek werd vrijgegeven, en dat er geen specifieke gebruikersgegevens werden geraadpleegd om het probleem op te lossen. Het bedrijf voegde daaraan toe dat het niet kan uitsluiten dat geanonimiseerde gegevens, afgeleid van het gebruik van haar producten door het duo, hebben bijgedragen aan de verbetering van haar modellen, terwijl werd opgemerkt dat de bewijzen aanzienlijk verschillen, inclusief de precieze resultaten die in het Euler‑geval zijn bewezen: geforceerd versus ongeforceerd.

Op 7 september 2026 publiekelijk aangekondigd drie resultaten met Alpöge: eindige‑tijd blow‑up met gladde geforceerde voor incompressibele poreuze media, voor Boussinesq, en voor driedimensionele incompressibele Euler, waarbij hij de papers en een Lean‑formalisatie plaatste. In een bijbehorende verklaring beschreef hij bijna een jaar persoonlijke samenwerking met gebruik van Anthropic’s Claude en OpenAI’s Codex, een doorbraak op 15 augustus 2026, en een Lean‑verificatie op 22 augustus 2026, en hij vertelde over een e‑mail van 3 september 2026 aan een OpenAI‑wiskundige en telefoontjes op 6 september waarin, schreef hij, OpenAI twee voorstellen deed die hij weigerde. Hij benadrukte dat hij geen beschuldiging tegen iemand maakt.

OpenAI zei dat ze zich nu richt op het begrijpen van het interne model en het gebruiken van wat ze leren om te sturen en het tempo te bepalen waarmee ze verdere vooruitgang in capaciteit nastreven.