Peneliti Microsoft dan Kolaborator Membuktikan Konjektur KLS yang Berusia 31 Tahun

Microsoft Research mengumumkan pada 21 Oktober 2026 bahwa Xinzhi Zhang, peneliti senior di grup Pembelajaran Mesin dan Optimisasi, serta kolaboratornya Zhao Song telah membuktikan konjektur Kannan–Lovász–Simonovits, masalah dalam geometri dan probabilitas berdimensi tinggi yang telah berusia 31 tahun, melalui proses riset AI agentik yang diarahkan manusia.

Konjektur dan Batas Baru

Bukti tersebut dimuat dalam makalah sepanjang 140 halaman, Batas O(1) untuk Konstanta KLS, yang ditulis oleh Zhao Song dan Xinzhi Zhang. Makalah itu pertama kali diajukan ke arXiv pada 1 Oktober 2026 dan direvisi pada 4 Oktober 2026, dengan Zhang sebagai penulis yang mengajukannya. Abstraknya menyatakan bahwa para penulis membuktikan konstanta KLS ψ_n dibatasi dari atas oleh konstanta universal C, sehingga konjektur tersebut terselesaikan. Mereka juga membuktikan batas universal untuk konstanta Poincaré dari setiap ukuran probabilitas log-konkaf isotropik.

Secara formal, konjektur yang diajukan pada 1995 ini mempertanyakan apakah setiap ukuran probabilitas log-konkaf isotropik pada ruang berdimensi n memiliki konstanta Cheeger yang dibatasi dari bawah oleh konstanta positif universal. Dalam penjelasan yang lebih sederhana di unggahan Microsoft Research, konjektur ini mempertanyakan apakah, untuk kelas luas distribusi probabilitas berdimensi tinggi, pemotongan datar atau oleh hiperbidang yang terbaik selalu hampir sama efektifnya dengan pemotongan terbaik dalam bentuk apa pun, dengan selisih antara keduanya tidak lebih dari suatu konstanta universal, berapa pun jumlah dimensinya. Karena geometri pemotongan ini menentukan seberapa cepat jalan acak dapat menjelajahi suatu distribusi, konjektur tersebut berperan penting dalam teori pengambilan sampel berdimensi tinggi.

Sebelum penelitian ini, hasil terbaik yang diketahui adalah makalah sepanjang 21 halaman Konstanta KLS adalah O(log^{1/4} n) karya Brayden Letwin, yang diajukan pada 27 Juli 2026. Makalah itu membuktikan bahwa ψ_n paling besar sebesar suatu konstanta dikalikan log^{1/4} n. Unggahan Microsoft Research mencatat bahwa batas tersebut masih bertambah secara perlahan seiring meningkatnya jumlah dimensi. Hasil baru ini berlaku dengan batas tetap yang tidak berubah menurut dimensi.

Pentingnya konjektur ini telah diakui jauh sebelum penyelesaiannya. Unggahan tersebut mencatat bahwa laporan tahunan Mathematical Sciences Research Institute untuk 2017–18 menyebut KLS sebagai masalah terbuka utama dalam geometri konveks berdimensi tinggi, Simons Institute menggambarkannya sebagai salah satu masalah terbuka terpenting dalam geometri konveks, dan Ronen Eldan menyoroti implikasinya yang luas dalam prosiding Kongres Internasional Matematikawan 2022.

Proses Riset Agentik dengan Arahan Manusia

Menurut unggahan tersebut, para penulis memulai dengan berupaya memperbaiki hasil dari Juli 2026. Melalui proses terstruktur yang diarahkan manusia dengan bantuan agen AI, mereka menjajaki lebih dari 100 pendekatan kandidat, banyak di antaranya melibatkan perhitungan panjang dengan tensor berorde lebih tinggi, dan menghasilkan kriteria matematika baru yang menjadi landasan bukti akhir.

Para penulis kemudian menemukan bahwa kriteria tersebut dapat diterapkan secara rekursif: setiap batas yang diperbaiki dimasukkan kembali ke dalam argumen yang sama untuk menghasilkan batas yang lebih ketat. Dalam versi makalah tertanggal 1 Oktober 2026, cara ini mengurangi ketergantungan pada dimensi menjadi logaritma iterasi, yang bertambah sangat lambat tetapi tetap meningkat seiring bertambahnya dimensi sehingga belum menyelesaikan konjektur. Langkah terakhirnya adalah mengulangi seluruh penyempurnaan rekursif, alih-alih hanya menerapkannya sekali. Menurut unggahan tersebut, gagasan ini terinspirasi oleh penelitian terdahulu para penulis tentang algoritma cepat untuk pemrograman linear. Para penulis membuktikan bahwa galat kecil yang muncul pada setiap tahap menyusut cukup cepat sehingga jumlah keseluruhannya tetap dibatasi oleh suatu konstanta universal yang tidak bergantung pada dimensi. Dengan demikian, bukti tersebut tuntas dalam versi 4 Oktober 2026.

Unggahan tersebut menyatakan bahwa metode rekursif, penerapannya yang berulang, dan argumen mengenai galat yang terbatas merupakan kontribusi orisinal para peneliti. Perangkat AI membantu menjajaki pendekatan kandidat, melakukan penurunan terperinci, menyiapkan manuskrip, dan memeriksa bukti secara internal. Sementara itu, para peneliti menentukan arah matematis, memilih gagasan yang menjanjikan, merangkainya menjadi argumen akhir, dan memverifikasi bukti. Unggahan tersebut menggambarkan metode ini sebagai penelusuran agentik dengan penyaringan berulang yang dibantu manusia: ketika beberapa agen menjajaki variasi suatu gagasan secara paralel, peneliti memeriksa hasil sementara, mengesampingkan arah yang kurang menjanjikan, lalu meneruskan hasil paling menjanjikan ke putaran berikutnya. Sekitar seratus jalur penelitian dijajaki sebelum terobosan utama ditemukan.

Dalam jalur proyek yang terpisah, para penulis berulang kali mencoba menyelesaikan masalah yang sama tanpa arahan dengan menggunakan beberapa model AI terkemuka dan anggaran token total yang kira-kira sama dengan proses utama. Unggahan tersebut melaporkan bahwa upaya ini tidak mencapai tujuannya. Menurut unggahan itu, keberhasilan akhirnya bergantung pada kemampuan sistem AI sekaligus pertimbangan matematis para peneliti. Unggahan tersebut berterima kasih kepada Song atas kontribusinya pada penelitian ini, serta kepada Victor Reis dan Ishai Menache atas diskusi mereka selama proyek berlangsung.

Bukti Independen dan Verifikasi Mesin

Pada 4 Oktober 2026, pada hari yang sama ketika pembuktian lengkap diunggah, Pierre Bizeul, Boaz Klartag, dan Joseph Lehec mengunggah pembuktian setebal 32 halaman yang dikembangkan secara paralel, berjudul Menyajikan pembuktian konjektur Kannan-Lovász-Simonovits. Abstrak makalah tersebut menyatakan bahwa “langkah penting dalam pembuktian ini adalah kriteria yang sangat baru dari Song dan Zhang yang melibatkan turunan orde tinggi dari rata-rata tilt,” sementara komentar di arXiv menyebutkan bahwa makalah tersebut memuat paragraf yang menjelaskan penggunaan AI. Abstrak itu menempatkan KLS bersama masalah irisan Bourgain dan konjektur varians sebagai pendorong perkembangan matematika dalam geometri berdimensi tinggi selama beberapa dekade terakhir.

Krishnakumar Balasubramanian dan Shiva Kasiviswanathan mengunggah pembuktian terpisah, Batas Bebas Dimensi atas Konstanta Poincaré untuk Ukuran Log-Konkaf Isotropik, yang pertama kali diajukan pada 6 Oktober 2026 dan direvisi pada 8 Oktober 2026. Abstraknya menjelaskan pembuktian variational deterministik dengan batas eksplisit sebesar 25 untuk konstanta Poincaré dari setiap ukuran probabilitas log-konkaf isotropik.

Formalisasi Lean 4 bernama KLS500 kemudian menyusul, memformalkan konstanta Poincaré bebas dimensi yang paling tinggi 500 untuk setiap hukum probabilitas log-konkaf isotropik. Menurut repositori tersebut, pengembangannya terutama didasarkan pada pendekatan kumulan dan suspensi dari Bizeul, Klartag, dan Lehec, dengan menyertakan kriteria tilt–spektral dari Song dan Zhang; verifikasinya membangun ulang 1.710 modul matematika pada tingkat kepercayaan kernel nol. Verifikasi Lean juga berhasil untuk pernyataan konjektur KLS yang persis sebagaimana didefinisikan oleh OpenAI, dengan menggunakan konstanta Poincaré universal 500. Proyek ini dilisensikan di bawah Apache 2.0.

Tulisan Microsoft Research menyebut pembuktian independen sebagai salah satu bentuk validasi terkuat dalam matematika karena menunjukkan bahwa suatu hasil tidak bergantung pada satu rangkaian penalaran saja. Setelah konjektur tersebut terbukti, tulis artikel itu, hasil-hasil yang sebelumnya mengandalkannya sebagai asumsi kini dapat dinyatakan tanpa syarat. Para penulis telah mempersingkat pembuktian mereka dan memverifikasi argumen yang telah disederhanakan itu di Lean; artikel tersebut melaporkan bahwa mereka berencana merilis keduanya setelah peninjauan akhir.