Microsoft Research के शोधकर्ता और सहयोगी ने 31 साल पुरानी KLS परिकल्पना सिद्ध की

Microsoft Research ने घोषणा की कि 21 अक्टूबर, 2026 को उसके मशीन लर्निंग और ऑप्टिमाइज़ेशन समूह के वरिष्ठ शोधकर्ता Xinzhi Zhang और सहयोगी Zhao Song ने मानव-निर्देशित एजेंटिक AI शोध प्रक्रिया का उपयोग करके Kannan–Lovász–Simonovits परिकल्पना सिद्ध कर दी है। यह उच्च-आयामी ज्यामिति और प्रायिकता की 31 साल पुरानी समस्या थी।

परिकल्पना और नई सीमा

इस प्रमाण को 140 पृष्ठों के शोधपत्र KLS नियतांक के लिए एक O(1) सीमा में प्रस्तुत किया गया है। इसका श्रेय Zhao Song और Xinzhi Zhang को दिया गया है। इसे पहली बार 1 अक्टूबर, 2026 को arXiv पर जमा किया गया और 4 अक्टूबर, 2026 को संशोधित किया गया; जमा करने वाले लेखक Zhang थे। सार में कहा गया है कि लेखक सिद्ध करते हैं कि KLS नियतांक ψ_n की ऊपरी सीमा एक सार्वभौमिक नियतांक C है, जिससे परिकल्पना हल हो जाती है। वे प्रत्येक समदैशिक लॉग-अवतल प्रायिकता माप के प्वांकारे नियतांक की एक सार्वभौमिक सीमा भी सिद्ध करते हैं।

औपचारिक रूप से, 1995 में प्रस्तुत यह परिकल्पना पूछती है कि क्या n-आयामी समष्टि में प्रत्येक समदैशिक लॉग-अवतल प्रायिकता माप का चीगर नियतांक किसी सार्वभौमिक धनात्मक नियतांक से नीचे से सीमित होता है। Microsoft Research की पोस्ट में इसे सरल शब्दों में इस तरह समझाया गया है: क्या उच्च-आयामी प्रायिकता वितरणों के एक व्यापक वर्ग के लिए सबसे अच्छा समतल या अतिसमतलीय कट हमेशा किसी भी आकार के सबसे अच्छे कट जितना ही प्रभावी होता है—और क्या दोनों के बीच का अंतर आयामों की संख्या से निरपेक्ष, किसी सार्वभौमिक नियतांक से अधिक नहीं होता? चूँकि इन कटों की ज्यामिति यह निर्धारित करती है कि यादृच्छिक चालें किसी वितरण का अन्वेषण कितनी तेज़ी से कर सकती हैं, इसलिए उच्च-आयामी नमूनाकरण के सिद्धांत में इस परिकल्पना की केंद्रीय भूमिका है।

इस काम से पहले, सबसे बेहतर ज्ञात परिणाम Brayden Letwin का 21 पृष्ठों का शोधपत्र KLS नियतांक O(log^{1/4} n) है था, जिसे 27 जुलाई, 2026 को जमा किया गया था। इसमें स्थापित किया गया था कि ψ_n, log^{1/4} n के किसी नियतांक गुणज से अधिक नहीं है। Microsoft Research की पोस्ट के अनुसार, आयामों की संख्या बढ़ने के साथ यह सीमा अब भी धीरे-धीरे बढ़ती थी। नए काम में एक निश्चित सीमा प्राप्त होती है, जो आयाम के साथ बदलती नहीं है।

इस परिकल्पना के महत्व को इसके हल होने से काफी पहले ही मान्यता मिल चुकी थी। पोस्ट के अनुसार, Mathematical Sciences Research Institute की 2017–18 की वार्षिक रिपोर्ट ने KLS को उच्च-आयामी उत्तल ज्यामिति की एक केंद्रीय अनसुलझी समस्या कहा था; Simons Institute ने इसे उत्तल ज्यामिति की सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्याओं में से एक बताया था; और Ronen Eldan ने 2022 के International Congress of Mathematicians की कार्यवाही में इसके व्यापक निहितार्थों का उल्लेख किया था।

मानव-निर्देशित एजेंटिक शोध प्रक्रिया

पोस्ट के अनुसार, लेखकों ने जुलाई 2026 के परिणाम को बेहतर बनाने की कोशिश से शुरुआत की। AI एजेंटों के साथ एक सुव्यवस्थित, मानव-निर्देशित प्रक्रिया के ज़रिए उन्होंने 100 से अधिक संभावित तरीकों की पड़ताल की। इनमें से कई में उच्च-कोटि के टेन्सरों के साथ लंबी गणनाएँ शामिल थीं। इस प्रक्रिया में उन्होंने एक नया गणितीय मानदंड विकसित किया, जो अंतिम प्रमाण की नींव बना।

इसके बाद लेखकों ने पाया कि इस मानदंड को पुनरावर्ती ढंग से लागू किया जा सकता है: हर बार प्राप्त बेहतर सीमा को उसी तर्क में वापस रखकर उससे भी अधिक कसी हुई सीमा निकाली जा सकती है। शोधपत्र के 1 अक्टूबर, 2026 के संस्करण में इससे आयाम पर निर्भरता घटकर पुनरावृत्त लघुगणक तक रह गई। यह अत्यंत धीमी गति से बढ़ता है, लेकिन आयाम के साथ फिर भी बढ़ता है, इसलिए उस चरण में परिकल्पना का समाधान नहीं हुआ था। अंतिम चरण में पूरी पुनरावर्ती परिशोधन प्रक्रिया को केवल एक बार लागू करने के बजाय दोहराया गया। पोस्ट के अनुसार, इस विचार की प्रेरणा रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए तेज़ एल्गोरिदम पर लेखकों के पहले के काम से मिली थी। लेखकों ने सिद्ध किया कि हर चरण में आने वाली छोटी त्रुटियाँ इतनी तेज़ी से घटती हैं कि उनका कुल योग आयाम से स्वतंत्र एक सार्वभौमिक नियतांक से सीमित रहता है। इस तरह 4 अक्टूबर, 2026 के संस्करण में प्रमाण पूरा हुआ।

पोस्ट में कहा गया है कि पुनरावर्ती विधि, उसका बार-बार प्रयोग और त्रुटियों को सीमित रखने का तर्क शोधकर्ताओं के मौलिक योगदान हैं। AI उपकरणों ने संभावित तरीकों की पड़ताल करने, विस्तृत व्युत्पत्तियाँ करने, पांडुलिपि तैयार करने और प्रमाण की आंतरिक जाँच में मदद की। वहीं, शोधकर्ताओं ने गणितीय दिशा तय की, आशाजनक विचार चुने, उन्हें अंतिम तर्क में जोड़ा और प्रमाण का सत्यापन किया। पोस्ट इस विधि को पुनरावृत्त मानव-सहायता प्राप्त छँटाई के साथ एजेंटिक खोज कहती है: जब कई एजेंट किसी विचार के अलग-अलग रूपों की समानांतर पड़ताल कर रहे थे, तब शोधकर्ता बीच के नतीजों की जाँच करते, कम आशाजनक दिशाओं को हटाते और सबसे आशाजनक नतीजे को अगले दौर के लिए आगे बढ़ाते थे। निर्णायक सफलता मिलने से पहले लगभग सौ शोध-प्रक्रियाओं की पड़ताल की गई।

परियोजना की एक अलग धारा में, लेखकों ने कई अग्रणी AI मॉडलों के साथ बिना किसी मार्गदर्शन के उसी समस्या को हल करने के बार-बार प्रयास किए। इसमें मुख्य प्रक्रिया के लगभग बराबर कुल टोकन बजट का उपयोग किया गया, लेकिन पोस्ट के अनुसार यह प्रयास लक्ष्य तक नहीं पहुँच सका। पोस्ट कहती है कि अंततः मिली सफलता AI प्रणालियों की क्षमताओं और शोधकर्ताओं के गणितीय विवेक—दोनों पर निर्भर थी। पोस्ट में इस काम में Song के योगदानों के लिए और पूरी परियोजना के दौरान चर्चा करने के लिए Victor Reis तथा Ishai Menache का आभार भी व्यक्त किया गया है।

स्वतंत्र प्रमाण और मशीन द्वारा सत्यापन

4 अक्टूबर, 2026 को—जिस दिन पूरा प्रमाण पोस्ट किया गया था—उसी दिन Pierre Bizeul, Boaz Klartag और Joseph Lehec ने समानांतर रूप से विकसित 32 पृष्ठों का एक प्रमाण पोस्ट किया, जिसका शीर्षक था «Kannan-Lovász-Simonovits अनुमान का प्रमाण प्रस्तुत करना»। शोधपत्र के सार में कहा गया है कि “प्रमाण का निर्णायक चरण Song और Zhang का हाल ही में दिया गया वह मानदंड है, जिसमें टिल्ट औसतों के उच्च-कोटि अवकलज शामिल हैं”; arXiv पर दी गई टिप्पणियों में यह भी बताया गया है कि शोधपत्र में AI के उपयोग का वर्णन करने वाला एक अनुच्छेद है। सार में KLS को Bourgain की स्लाइसिंग समस्या और विचरण अनुमान के साथ उन प्रेरक कारकों में रखा गया है, जिन्होंने हाल के दशकों में उच्च-आयामी ज्यामिति में गणितीय विकास को गति दी है।

Krishnakumar Balasubramanian और Shiva Kasiviswanathan ने एक अलग प्रमाण पोस्ट किया, जिसका शीर्षक था समदैशिक लॉग-अवतल मापों के प्वाँकरे नियतांक पर आयाम-निरपेक्ष परिसीमा। इसे पहली बार 6 अक्टूबर, 2026 को जमा किया गया और 8 अक्टूबर, 2026 को संशोधित किया गया। इसके सार में किसी भी समदैशिक लॉग-अवतल प्रायिकता माप के प्वाँकरे नियतांक के लिए 25 की स्पष्ट परिसीमा वाला एक नियतात्मक विविधतापरक प्रमाण बताया गया है।

इसके बाद KLS500 नाम का Lean 4 औपचारीकरण आया, जो हर समदैशिक लॉग-अवतल प्रायिकता वितरण के लिए अधिकतम 500 के आयाम-निरपेक्ष प्वाँकरे नियतांक को औपचारिक रूप देता है। रिपॉज़िटरी के अनुसार, यह विकास मुख्य रूप से Bizeul, Klartag और Lehec के क्यूमुलेंट और सस्पेंशन दृष्टिकोण पर आधारित है; इसमें Song और Zhang का टिल्ट-स्पेक्ट्रल मानदंड शामिल है। इसके सत्यापन में कर्नेल-विश्वास स्तर शून्य पर गणित के 1,710 मॉड्यूल फिर से निर्मित किए गए। OpenAI द्वारा परिभाषित KLS अनुमान के सटीक कथन के लिए भी Lean सत्यापन सफल रहा; इसमें सार्वभौमिक प्वाँकरे नियतांक 500 का उपयोग किया गया। इस परियोजना को Apache 2.0 लाइसेंस के तहत जारी किया गया है।

Microsoft Research की पोस्ट में स्वतंत्र प्रमाणों को गणित में सत्यापन के सबसे सशक्त रूपों में से एक बताया गया है, क्योंकि वे दिखाते हैं कि कोई परिणाम तर्क की केवल एक ही शृंखला पर निर्भर नहीं है। पोस्ट के अनुसार, अनुमान के हल हो जाने के बाद अब वे परिणाम बिना किसी शर्त के बताए जा सकते हैं, जो पहले इस अनुमान को एक मान्यता के रूप में लेकर चलते थे। लेखकों ने अपने प्रमाण को संक्षिप्त किया है और सरलीकृत तर्क को Lean में सत्यापित किया है; पोस्ट में बताया गया है कि अंतिम समीक्षा के बाद वे दोनों जारी करने की योजना बना रहे हैं।