बकमास्टर और अल्पोगे ने एआई फ्लुइड ब्लोअप प्रमाण प्रकाशित किए, ओपनएआई कॉल्स का विवरण

NYU के गणितज्ञ ट्रिस्टन बकमास्टर और Anthropic के शोधकर्ता लेवेंट अल्पोगे ने सार्वजनिक रूप से तीन प्रीप्रिंट प्रकाशित किए हैं, जो असंपीड़नीय पोरोस माध्यम समीकरण, दो‑आयामी बौसिनेस्क प्रणाली, और त्रि‑आयामी असंपीड़नीय यूरर समीकरणों के लिए स्मूद फोर्सिंग के साथ सीमित‑समय ब्लोअप स्थापित करते हैं, साथ ही Lean में प्रमाणों के औपचारिक रूपांतरण भी शामिल हैं। प्रीप्रिंट के साथ प्रकाशित एक बयान में, बकमास्टर ने ओपनएआई के साथ हुए संपर्कों का भी उल्लेख किया है, जिसमें, वह लिखते हैं, कंपनी ने उन्हें बताया कि एक आंतरिक मॉडल ने फोर्स्ड Navier–Stokes समीकरणों के लिए लगभग 100 पृष्ठों का सीमित‑समय ब्लोअप प्रमाण उत्पन्न किया था — जो Clay Mathematics Institute के मिलेनियम प्राइज़ समस्याओं में से एक की दिशा है। Clay का आधिकारिक समस्या पृष्ठ अभी भी Navier–Stokes अस्तित्व और स्मूदनेस समस्या को अनसुलझा सूचीबद्ध करता है। 8 सितंबर 2026 तक ओपनएआई ने अपने समाचार पृष्ठ पर ऐसे परिणाम की कोई घोषणा नहीं की थी, और बकमास्टर कहते हैं कि उन्होंने वह प्रमाण नहीं देखा है।

प्रकाशित परिणाम

प्रीप्रिंट्स में डिएगो कॉर्डोबा और लुइस मार्टिनेज‑ज़ोरोआ के ब्लोअप कार्यक्रम को तीन मॉडल समीकरणों में स्मूद फोर्सिंग के साथ लागू किया गया है। Euler पेपर असंपीड़नीय यूरर समीकरणों के लिए त्रि‑आयामी स्थान में एक सीमित‑समय singularity बनाता है, जिसमें बल स्थान और समय दोनों में ब्लोअप समय तक स्मूद बना रहता है। प्रारंभिक वेग स्मूद, अक्ष‑सममित, गैर‑शून्य घूर्णन और शून्य मेरिडियन घटक वाला है, और एक निश्चित ठोस टोरस में समर्थित है; वॉर्टिसिटी और सर्कुलेशन‑ग्रेडिएंट मान टर्मिनल समय पर अनंत की ओर बढ़ते हैं, और समाधान प्रत्येक पूर्व बंद अंतराल में निर्दिष्ट सीमित‑ऊर्जा वर्ग में स्मूद और अद्वितीय रहता है। यह पेपर इस निर्माण को कॉर्डोबा‑मार्टिनेज‑ज़ोरोआ कार्यक्रम के निरंतरता के रूप में वर्णित करता है, जहाँ परस्पर क्रिया करने वाली परतों के माध्यम से क्रमशः छोटे स्केल पर singularity का निर्माण होता है।

Boussinesq पेपर प्लेन पर निर्घर्षी (inviscid) Boussinesq प्रणाली के लिए सीमित‑समय ब्लोअप सिद्ध करता है, जहाँ दोनों समीकरणों में स्मूद फोर्सिंग होती है, और प्रारंभिक तापमान स्मूद, सीमित समर्थन वाला तथा प्रारंभिक वेग शून्य होता है। तापमान सीमित रहता है जबकि उसका ग्रेडिएंट मान अनंत की ओर बढ़ता है और वॉर्टिसिटी मान का लिंसुप अनंत है, दोनों बल बंद समय अंतराल में प्रत्येक मिश्रित अवकलज में स्मूद होते हैं और एक निश्चित गोले में समर्थित होते हैं। IPM पेपर, जो अतिरिक्त रूप से Matei P. Coiculescu के साथ सह‑लेखित है, दो‑आयामी टोरस पर असंपीड़नीय पोरोस माध्यम समीकरण के लिए एक समान स्थान‑समय स्मूद बल के साथ सीमित‑समय ब्लोअप सिद्ध करता है, जो पहले के कॉर्डोबा‑मार्टिनेज‑ज़ोरोआ परिणाम को विस्तारित करता है, जहाँ फोर्सिंग केवल स्थान में स्मूद थी।

इन सभी तीन कार्यों को Lean प्रूफ असिस्टेंट में सत्यापित किया गया, और लेखकों ने औपचारिकरणों को एक सार्वजनिक रिपॉजिटरी में प्रकाशित किया, जिसमें अलग‑अलग Euler और Boussinesq ब्लोअप मॉड्यूल शामिल हैं। अपने बयान में, बकमास्टर लिखते हैं कि वह और अल्पोगे यह भी मानते हैं कि उनके पास हाइपो‑डिसिपेटिव Navier–Stokes के लिए ब्लोअप है, लेकिन वे वह पेपर जारी नहीं कर रहे हैं क्योंकि उसकी Lean सत्यापन अभी समाप्त नहीं हुई है और कोई प्रस्तुत करने योग्य लिखावट उपलब्ध नहीं है।

प्रमाणों में LLMs

लेखकों ने पूरे प्रोजेक्ट में बड़े भाषा मॉडलों (LLMs) के व्यापक उपयोग को उजागर किया है। IPM पेपर में कहा गया है कि लेखकों ने Anthropic के Claude का उपयोग करके पूर्व के Córdoba‑Martínez‑Zoroa प्रमाण के प्रमुख तत्वों की पहचान की और उसके तर्क को पुनः निर्मित किया, और Claude तथा OpenAI के Codex का उपयोग करके पाठ के मुख्य भाग को लिखा, जबकि इन्डक्टिव क्रमों और स्थिरांक की बहीखाता कार्य को मॉडलों को लेखकों के निर्देशन में सौंपा; परिचय भाग सूचीबद्ध लेखकों द्वारा लिखा गया। Boussinesq पेपर के AI बयान में बताया गया है कि इस जोड़े ने 15 अगस्त 2026 को अपना पहला ब्लोअप समाधान प्राप्त किया, और उसे 22 अगस्त 2026 को Lean‑सत्यापित किया, और उन्होंने Claude और Codex के साथ लिखावटों पर पुनरावृत्ति की, बाद में 5.6 Sol और Astra नामक मॉडलों का उपयोग किया, जहाँ Astra केवल लिखावटों और तर्कों के ऑडिट के लिए प्रयोग किया गया। बकमास्टर के बयान में कहा गया है कि अल्पोगे ने उन्हें भेजा पहला LLM‑जनित प्रमाण “the most horrendous I have ever read” था, और Boussinesq AI बयान ने पहला मॉडल‑उत्पन्न लिखावट को गणित में लेखकों द्वारा अब तक देखी गई सबसे बुरी लिखावट कहा है। बकमास्टर ने जारी किए गए Euler लिखावट को मानव निर्देशन में मॉडल आउटपुट के करीब बताया, उसकी प्रस्तुति के लिए क्षमा याचना की और तेज़ रिलीज़ के लिए बाहरी दबाव का उल्लेख किया।

बकमास्टर लिखते हैं कि यह सहयोग पूरी तरह व्यक्तिगत था, किसी संस्थागत समझौते या किसी नियोक्ता की आधिकारिक भागीदारी नहीं थी, और उन्होंने अपने शोध निधियों से उपकरणों की लागत, जिसमें एक बड़ी OpenAI बिल भी शामिल है, का भुगतान किया। उन्होंने कार्यक्रम के मूल विचारों के लिए कॉर्डोबा और मार्टिनेज‑ज़ोरोा को क्रेडिट दिया, लिखते हुए कि यह जोड़ा कई वर्षों से फोर्स्ड ब्लोअप निर्माणों का अध्ययन कर रहा था और उनकी दृष्टि में मार्टिनेज‑ज़ोरोा को फ़ील्ड्स मेडल का हक़दार माना जाता है।

विवादित संपर्क

बकमास्टर के बयान का दूसरा भाग 3 सितंबर 2026 से शुरू होने वाली घटनाओं का उनका विवरण है, जब Anthropic ने एक प्रमुख खुले समस्या को हल कर लिया है ऐसी अफवाह फैली हुई थी, तब उन्होंने OpenAI के एक गणितज्ञ को ईमेल करके स्पष्ट किया कि यह कार्य व्यक्तिगत सहयोग था और शीघ्र ही प्रकाशित किया जाएगा। वह लिखते हैं कि बाद में एक बाद की बैठक का अनुरोध करने के बाद, उन्हें 6 सितंबर को मिलने के लिए कहा गया, और वह तथा गणितज्ञ, OpenAI के Sébastien Bubeck के साथ, दो बार उसी दोपहर में बात किए, जबकि अल्पोगे उपस्थित नहीं थे।

उन कॉलों में, बकमास्टर लिखते हैं कि उन्हें बताया गया कि एक आंतरिक OpenAI मॉडल ने फोर्स्ड Navier–Stokes समीकरणों के लिए सीमित‑समय ब्लोअप का प्रमाण उत्पन्न किया था, जो त्रि‑आयामी यूक्लिडियन स्थान और त्रि‑टोरस दोनों में अस्तित्व रखता है और फोर्सिंग Charles Fefferman के Clay समस्या के आधिकारिक बयान में दो विकल्पों के तहत स्मूद थी। वह बताते हैं कि उन्हें बताया गया कि प्रमाण लगभग 100 पृष्ठों का है और “बहुत कम मानव इनपुट” उपयोग किया गया था — एक वर्णन जो कॉल के दौरान खुलासा हुआ कि एक टीम ने समस्या पर काम किया था, पहले मॉडल को आसान समस्याओं जैसे Euler पर सेट किया था, और यहाँ तक कि प्रदर्शित प्रॉम्प्ट भी Codex को प्रॉम्प्ट करके लिखा गया था। बकमास्टर लिखते हैं कि अंततः यह सहमति बनी कि पहला प्रॉम्प्ट पूर्ववर्ती दिनों में भेजा गया था, जब जोड़े के कार्य की जानकारी OpenAI तक पहुँची थी। जब उन्होंने पूछा कि क्या मॉडल को उनके Codex सत्रों पर प्रशिक्षित किया गया है या उसे उन सत्रों तक पहुँच है, जिनमें उन्होंने परियोजना के सभी ड्राफ्ट रखे थे, तो उन्हें बताया गया कि मॉडल उपयोगकर्ता डेटा को देखता नहीं है; प्रशिक्षण प्रश्न पर उन्होंने लिखा, “मुझे उत्तर नहीं मिला।”

बकमास्टर दो प्रस्तावों का वर्णन करते हैं जो उन्हें प्रस्तुत किए गए थे: पहला कि जोड़ा अपना Euler परिणाम प्रकाशित करे और OpenAI अगले दिन अपना Navier–Stokes परिणाम प्रकाशित करे, या दूसरा कि बकमास्टर अकेले ही Navier–Stokes परिणाम प्रस्तुत करने वाला पेपर लिखे, जबकि यह स्वीकार करे कि एक आंतरिक OpenAI मॉडल ने इसे हल किया है। वह लिखते हैं कि Bubeck ने दो बार कहा कि वह अल्पोगे को लेखकत्व से हटाना चाहता है, अल्पोगे की Anthropic में रोजगार का हवाला देते हुए, और कहा गया कि यदि जोड़े के बाद OpenAI पोस्ट करे तो उन्हें Clay पुरस्कार के योग्य और “समस्या के सबसे निकट मानव” के रूप में श्रेय दिया जाएगा। बकमास्टर लिखते हैं कि उन्होंने दोनों प्रस्तावों को ठुकरा दिया और कहा कि यदि OpenAI प्रस्तावित रूप में परिणाम जारी करता है तो वह सार्वजनिक करेंगे; वह जवाब याद करते हैं, “Why would you ruin your career?” और जब उन्होंने पूछा कि सार्वजनिक करने से उनका करियर क्यों बिगड़ जाएगा, तो उत्तर मिला, “If you don’t want me to be nice, then I don’t have to be nice.”

बकमास्टर स्पष्ट रूप से बताते हैं कि वे क्या नहीं दावा कर रहे हैं: उन्होंने OpenAI का प्रमाण नहीं देखा है, नहीं जानते कि मॉडल ने क्या किया या कैसे किया, और नहीं जानते कि जोड़े का डेटा उपयोग हुआ या नहीं। वह लिखते हैं, “I am not accusing anyone of anything.” “I am stating what I was told, when, and what was proposed to me.” वह जोड़ते हैं कि यदि एक OpenAI मॉडल ने Navier–Stokes के अंतर को बंद किया, “that is a remarkable thing and it should be said loudly, by them, with the history intact.”

Clay Institute का एक मिलियन‑डॉलर का Millennium Prize, Fefferman के सूत्रीकरण में, यह मांग करता है कि या तो त्रि‑आयामी Navier–Stokes समीकरणों के स्मूद समाधान सभी समय के लिए मौजूद हों या वे सीमित समय में विफल हो जाएँ; प्रकाशित प्रीप्रिंट्स फोर्स्ड Euler, Boussinesq, और IPM समीकरणों को संबोधित करते हैं, जिनमें वह विस्कोसिटी पद नहीं है जो Navier–Stokes को अलग करता है।