Microsoft 연구자와 공동 연구자, 31년 된 KLS 추측 증명

Xinzhi Zhang과 공동 연구자 Zhao Song이 인간 주도의 에이전트형 AI 연구 과정을 통해 고차원 기하학과 확률론의 31년 된 난제인 Kannan–Lovász–Simonovits 추측을 증명했다고 2026년 10월 21일 Microsoft Research가 발표했다. Zhang은 Microsoft Research의 머신러닝 및 최적화 그룹에서 선임 연구원으로 일하고 있다.

추측과 새로운 상계

증명은 Zhao Song과 Xinzhi Zhang의 140쪽 논문 KLS 상수에 대한 O(1) 상계에 실렸다. Zhang이 제출 저자인 이 논문은 2026년 10월 1일 arXiv에 처음 제출됐으며 2026년 10월 4일 수정됐다. 초록에 따르면 저자들은 KLS 상수 ψ_n이 보편 상수 C 이하임을 증명해 추측을 해결했으며, 모든 등방성 로그오목 확률측도의 푸앵카레 상수에 대해서도 보편적인 상계를 증명했다.

엄밀히 말해, 1995년에 제안된 이 추측은 n차원 공간의 모든 등방성 로그오목 확률측도에서 체거 상수의 하한이 보편적인 양의 상수인지 묻는다. Microsoft Research 게시물에서 더 쉽게 설명한 바에 따르면, 이 추측은 광범위한 고차원 확률분포에서 최선의 평면 절단이 어떤 형태의 절단이든 최선의 절단만큼 거의 효과적인지, 즉 차원 수와 관계없이 두 절단의 효율 차이가 보편 상수를 넘지 않는지를 묻는다. 이러한 절단의 기하학적 특성은 확률분포를 무작위 보행으로 탐색하는 데 걸리는 시간을 좌우하므로, 이 추측은 고차원 표본 추출 이론에서 핵심적인 역할을 한다.

이번 연구 이전에 알려진 최선의 결과는 Brayden Letwin이 2026년 7월 27일 제출한 21쪽 논문 KLS 상수는 O(log^{1/4} n)이다였다. 이 논문은 ψ_n이 log^{1/4} n에 상수를 곱한 값 이하임을 입증했다. 그러나 Microsoft Research 게시물이 지적하듯, 이 상계는 차원 수가 늘어날수록 여전히 느리게 증가했다. 새로운 결과에서는 차원에 따라 달라지지 않는 고정된 상계가 성립한다.

이 추측은 해결되기 훨씬 전부터 중요한 문제로 인정받았다. 게시물에 따르면 Mathematical Sciences Research Institute의 2017~18년 연례 보고서는 KLS를 고차원 볼록기하학의 핵심 미해결 문제라고 했고, Simons Institute는 이를 볼록기하학에서 가장 중요한 미해결 문제 가운데 하나로 꼽았다. 또한 Ronen Eldan은 2022년 국제수학자대회 회의록에서 이 추측이 폭넓은 함의를 지닌다고 언급했다.

인간이 주도한 에이전트형 연구 과정

게시물에 따르면 저자들은 2026년 7월의 결과를 개선하는 작업부터 시작했다. AI 에이전트를 활용한 체계적인 인간 주도 과정에서 100개가 넘는 접근법을 탐색했으며, 그중 상당수는 고차 텐서를 사용한 긴 계산을 포함했다. 이 과정에서 최종 증명의 토대가 된 새로운 수학적 기준을 도출했다.

이후 저자들은 그 기준을 재귀적으로 적용할 수 있음을 발견했다. 개선된 상계를 같은 논증에 다시 대입해 한층 더 강한 상계를 얻는 방식이었다. 2026년 10월 1일 논문 버전에서는 이 방법으로 차원에 대한 의존성을 반복 로그로 줄였다. 반복 로그는 극히 느리게 증가하지만 차원이 커지면 여전히 증가하므로, 이 단계만으로는 추측을 해결하지 못했다. 게시물에 따르면 마지막 단계에서는 재귀적 개선을 한 번만 적용하는 대신 전체 과정을 반복했으며, 이는 선형계획법을 위한 고속 알고리즘에 관한 저자들의 이전 연구에서 착안한 아이디어였다. 저자들은 각 단계에서 생기는 작은 오차가 충분히 빠르게 줄어들어 오차의 합이 차원과 무관한 보편 상계 안에 머문다는 점을 증명했다. 이로써 2026년 10월 4일 논문 버전에서 증명이 완성됐다.

게시물은 재귀적 방법과 그 반복 적용, 오차가 유계임을 보이는 논증이 연구자들의 독창적인 기여라고 밝힌다. AI 도구는 유망한 접근법을 탐색하고, 세부 유도를 수행하고, 원고를 준비하고, 내부적으로 증명을 점검하는 데 도움을 줬다. 반면 수학적 방향을 정하고, 유망한 아이디어를 선택하고, 이를 최종 논증으로 구성하고, 증명을 검증한 것은 연구자들이었다. 게시물은 이 방법을 반복적인 인간 보조 선별을 동반한 에이전트형 탐색이라고 설명한다. 여러 에이전트가 한 아이디어의 여러 변형을 병렬로 탐색하는 동안 연구자는 중간 결과를 살펴보고, 가능성이 낮은 방향을 제외한 뒤, 가장 유망한 결과를 다음 단계에 넘겼다. 핵심적인 돌파구가 나오기 전까지 대략 100개의 연구 경로를 탐색했다.

이 프로젝트의 별도 연구 과정에서는 저자들이 주요 연구 과정과 대략 같은 총 토큰 예산을 사용해 여러 최첨단 AI 모델로 같은 문제를 아무런 안내 없이 반복해서 풀어 보았으며, 게시물에 따르면 이 시도는 목표에 이르지 못했다. 게시물은 최종적인 성공이 AI 시스템의 역량과 연구자들의 수학적 판단력 모두에 달려 있었다고 밝힌다. 게시물은 연구에 기여한 Song과 프로젝트 전반에 걸쳐 논의를 나눈 Victor Reis, Ishai Menache에게 감사를 전한다.

독립적인 증명과 기계 검증

완전한 증명이 게시된 날인 2026년 10월 4일, Pierre Bizeul, Boaz Klartag, Joseph Lehec은 병행해 개발한 32쪽 분량의 증명 「칸난-로바스-시모노비츠 추측의 증명 제시」를 게시했다. 논문의 초록에는 “증명의 핵심 단계는 기울기 평균의 고차 도함수를 다루는 Song과 Zhang의 아주 최근 기준”이라고 적혀 있으며, arXiv의 논평에는 논문에 AI 사용을 설명하는 문단이 포함되어 있다고 나와 있다. 초록은 KLS를 Bourgain의 단면 문제 및 분산 추측과 함께 최근 수십 년간 고차원 기하학의 수학적 발전을 이끈 원동력으로 제시한다.

Krishnakumar Balasubramanian과 Shiva Kasiviswanathan은 별도의 증명인 등방성 로그 오목 측도의 푸앵카레 상수에 대한 차원 비의존적 상계를 게시했다. 이 논문은 2026년 10월 6일 처음 제출되었고 2026년 10월 8일 수정되었다. 초록은 모든 등방성 로그 오목 확률 측도의 푸앵카레 상수에 대해 25라는 명시적 상계를 제시하는 결정론적 변분 증명을 설명한다.

이후 KLS500이라는 이름의 Lean 4 형식화가 공개되어, 모든 등방성 로그 오목 확률 법칙의 푸앵카레 상수가 차원에 관계없이 최대 500임을 형식화했다. 저장소에 따르면 이 개발은 주로 Bizeul, Klartag, Lehec의 누적량 및 서스펜션 접근법을 바탕으로 하며, 여기에 Song과 Zhang의 기울기-스펙트럼 기준을 통합했다. 검증 과정에서는 커널 신뢰 수준 0에서 수학 모듈 1,710개를 재구축했다. 또한 OpenAI가 정의한 정확한 KLS 추측 명제에 대해서도 보편 푸앵카레 상수 500을 사용한 Lean 검증을 통과했다. 이 프로젝트는 Apache 2.0 라이선스에 따라 배포된다.

Microsoft Research 게시글은 독립적인 증명이 수학에서 가장 강력한 검증 방식 중 하나라고 설명한다. 독립적인 증명은 결과가 단 하나의 추론 과정에 의존하지 않는다는 점을 보여 주기 때문이다. 추측이 해결됨에 따라 이전에는 이를 가정으로 삼았던 결과를 이제 조건 없이 서술할 수 있다고 게시글은 밝혔다. 저자들은 증명을 단축하고 간결해진 논증을 Lean으로 검증했으며, 게시글에 따르면 최종 검토를 마친 뒤 두 가지 모두 공개할 계획이다.