Ερευνητής της Microsoft και συνεργάτης αποδεικνύουν εικασία 31 ετών για την KLS

Η Microsoft Research ανακοίνωσε στις 21 Οκτωβρίου 2026 ότι ο Xinzhi Zhang, ανώτερος ερευνητής στην ομάδα Μηχανικής Μάθησης και Βελτιστοποίησης της εταιρείας, και ο συνεργάτης του Zhao Song απέδειξαν την εικασία Kannan–Lovász–Simonovits, ένα πρόβλημα 31 ετών στη γεωμετρία και τη θεωρία πιθανοτήτων υψηλών διαστάσεων, αξιοποιώντας μια διαδικασία έρευνας με πράκτορες τεχνητής νοημοσύνης, υπό την καθοδήγηση ανθρώπων.

Η εικασία και το νέο φράγμα

Η απόδειξη παρουσιάζεται στην εργασία 140 σελίδων Ένα φράγμα O(1) για τη σταθερά KLS, η οποία αποδίδεται στους Zhao Song και Xinzhi Zhang. Υποβλήθηκε για πρώτη φορά στο arXiv την 1η Οκτωβρίου 2026 και αναθεωρήθηκε στις 4 Οκτωβρίου 2026, με τον Zhang ως συγγραφέα που την υπέβαλε. Η περίληψη αναφέρει ότι οι συγγραφείς αποδεικνύουν πως η σταθερά KLS ψ_n φράσσεται από πάνω από μια καθολική σταθερά C, επιλύοντας έτσι την εικασία, και ότι αποδεικνύουν επίσης ένα καθολικό φράγμα για τη σταθερά Poincaré κάθε ισότροπου λογαριθμοκοίλου μέτρου πιθανότητας.

Τυπικά, η εικασία, η οποία διατυπώθηκε το 1995, θέτει το ερώτημα αν κάθε ισότροπο λογαριθμοκοίλο μέτρο πιθανότητας σε χώρο n διαστάσεων έχει σταθερά Cheeger που φράσσεται από κάτω από μια καθολική θετική σταθερά. Με πιο απλά λόγια, όπως αναφέρει η ανάρτηση της Microsoft Research, το ερώτημα είναι αν, για μια ευρεία κατηγορία κατανομών πιθανότητας υψηλών διαστάσεων, η καλύτερη επίπεδη τομή ή υπερεπίπεδη τομή είναι πάντοτε σχεδόν εξίσου αποτελεσματική με την καλύτερη τομή οποιουδήποτε σχήματος, με τη διαφορά μεταξύ τους να μην υπερβαίνει μια καθολική σταθερά, ανεξάρτητα από τον αριθμό των διαστάσεων. Καθώς η γεωμετρία αυτών των τομών καθορίζει πόσο γρήγορα μπορούν οι τυχαίοι περίπατοι να εξερευνήσουν μια κατανομή, η εικασία έχει κεντρική θέση στη θεωρία της δειγματοληψίας υψηλών διαστάσεων.

Πριν από αυτή την εργασία, το καλύτερο γνωστό αποτέλεσμα ήταν η εργασία 21 σελίδων Η σταθερά KLS είναι O(log^{1/4} n) του Brayden Letwin, η οποία υποβλήθηκε στις 27 Ιουλίου 2026. Απέδειξε ότι η ψ_n είναι το πολύ ίση με μια σταθερά επί log^{1/4} n· όπως επισημαίνει η ανάρτηση της Microsoft Research, το φράγμα αυτό εξακολουθούσε να αυξάνεται αργά όσο μεγάλωνε ο αριθμός των διαστάσεων. Το νέο αποτέλεσμα ισχύει με ένα σταθερό φράγμα, το οποίο δεν μεταβάλλεται ανάλογα με τη διάσταση.

Η σημασία της εικασίας είχε αναγνωριστεί πολύ πριν από την επίλυσή της. Η ανάρτηση αναφέρει ότι η ετήσια έκθεση 2017–18 του Mathematical Sciences Research Institute χαρακτήρισε την KLS κεντρικό ανοικτό πρόβλημα στη γεωμετρία κυρτών σωμάτων υψηλών διαστάσεων, ότι το Simons Institute την περιέγραψε ως ένα από τα σημαντικότερα ανοικτά προβλήματα στην κυρτή γεωμετρία και ότι ο Ronen Eldan επισήμανε τις ευρείες επιπτώσεις της στα πρακτικά της Διεθνούς Ένωσης Μαθηματικών του 2022.

Μια ερευνητική διαδικασία με πράκτορες τεχνητής νοημοσύνης, υπό ανθρώπινη καθοδήγηση

Σύμφωνα με την ανάρτηση, οι συγγραφείς ξεκίνησαν προσπαθώντας να βελτιώσουν το αποτέλεσμα του Ιουλίου 2026. Μέσα από μια δομημένη διαδικασία, υπό ανθρώπινη καθοδήγηση και με τη συμμετοχή πρακτόρων τεχνητής νοημοσύνης, διερεύνησαν περισσότερες από 100 υποψήφιες προσεγγίσεις, πολλές από τις οποίες περιλάμβαναν εκτενείς υπολογισμούς με τανυστές υψηλότερης τάξης, και διατύπωσαν ένα νέο μαθηματικό κριτήριο, το οποίο αποτέλεσε τη βάση της τελικής απόδειξης.

Στη συνέχεια, οι συγγραφείς ανακάλυψαν ότι το κριτήριο μπορούσε να εφαρμοστεί αναδρομικά, με κάθε βελτιωμένο φράγμα να επανεισάγεται στο ίδιο επιχείρημα, ώστε να προκύπτει ένα ακόμη αυστηρότερο φράγμα. Στην έκδοση της εργασίας της 1ης Οκτωβρίου 2026, αυτό περιόρισε την εξάρτηση από τη διάσταση στον επαναληπτικό λογάριθμο, ο οποίος αυξάνεται εξαιρετικά αργά, αλλά εξακολουθεί να αυξάνεται μαζί με τη διάσταση· συνεπώς, η εικασία δεν είχε ακόμη επιλυθεί. Το τελευταίο βήμα ήταν να επαναλάβουν ολόκληρη την αναδρομική βελτίωση, αντί να την εφαρμόσουν μόνο μία φορά — μια ιδέα που, όπως αναφέρει η ανάρτηση, εμπνεύστηκε από παλαιότερη εργασία των συγγραφέων για γρήγορους αλγορίθμους γραμμικού προγραμματισμού. Οι συγγραφείς απέδειξαν ότι τα μικρά σφάλματα που εισάγονται σε κάθε στάδιο μειώνονται αρκετά γρήγορα, ώστε το άθροισμά τους να παραμένει φραγμένο από μια καθολική σταθερά ανεξάρτητη από τη διάσταση, ολοκληρώνοντας την απόδειξη στην έκδοση της 4ης Οκτωβρίου 2026.

Η ανάρτηση αναφέρει ότι η αναδρομική μέθοδος, η επαναλαμβανόμενη εφαρμογή της και το επιχείρημα για τα φραγμένα σφάλματα αποτελούν πρωτότυπες συνεισφορές των ερευνητών. Τα εργαλεία τεχνητής νοημοσύνης συνέβαλαν στη διερεύνηση υποψήφιων προσεγγίσεων, στην εκτέλεση λεπτομερών παραγωγών, στην προετοιμασία του χειρογράφου και στους εσωτερικούς ελέγχους της απόδειξης. Οι ερευνητές, ωστόσο, καθόρισαν τη μαθηματική κατεύθυνση, επέλεξαν τις υποσχόμενες ιδέες, τις συνδύασαν στο τελικό επιχείρημα και επαλήθευσαν την απόδειξη. Η ανάρτηση περιγράφει τη μέθοδο ως αναζήτηση με πράκτορες και επαναληπτικό περιορισμό των επιλογών με τη βοήθεια ανθρώπων: καθώς πολλοί πράκτορες διερευνούσαν παράλληλα παραλλαγές μιας ιδέας, ο ερευνητής εξέταζε τα ενδιάμεσα αποτελέσματα, απέκλειε τις μη υποσχόμενες κατευθύνσεις και προωθούσε το πιο υποσχόμενο αποτέλεσμα στον επόμενο γύρο. Πριν προκύψει η καθοριστική ανακάλυψη, διερευνήθηκαν περίπου εκατό ερευνητικές διαδρομές.

Σε ένα ξεχωριστό σκέλος του έργου, οι συγγραφείς επιχείρησαν επανειλημμένα, χωρίς καθοδήγηση, να λύσουν το ίδιο πρόβλημα χρησιμοποιώντας αρκετά κορυφαία μοντέλα τεχνητής νοημοσύνης και περίπου τον ίδιο συνολικό προϋπολογισμό σε διακριτικά με την κύρια διαδικασία. Η ανάρτηση αναφέρει ότι αυτή η προσπάθεια δεν πέτυχε τον στόχο. Η τελική επιτυχία, σύμφωνα με την ανάρτηση, βασίστηκε τόσο στις δυνατότητες των συστημάτων τεχνητής νοημοσύνης όσο και στη μαθηματική κρίση των ερευνητών. Η ανάρτηση ευχαριστεί τον Song για τη συμβολή του στην εργασία, καθώς και τους Victor Reis και Ishai Menache για τις συζητήσεις καθ’ όλη τη διάρκεια του έργου.

Ανεξάρτητες αποδείξεις και μηχανική επαλήθευση

Στις 4 Οκτωβρίου 2026, την ίδια ημέρα που δημοσιεύτηκε η πλήρης απόδειξη, οι Pierre Bizeul, Boaz Klartag και Joseph Lehec δημοσίευσαν μια απόδειξη 32 σελίδων, η οποία αναπτύχθηκε παράλληλα και έχει τίτλο «Παρουσίαση μιας απόδειξης της εικασίας Kannan-Lovász-Simonovits». Η περίληψη της εργασίας αναφέρει ότι «το κρίσιμο βήμα στην απόδειξη είναι το πολύ πρόσφατο κριτήριο των Song και Zhang, το οποίο αφορά παραγώγους υψηλής τάξης μέσων όρων κεκλιμένων κατανομών», ενώ στα σχόλια της εργασίας στο arXiv σημειώνεται ότι περιλαμβάνει μια παράγραφο που περιγράφει τη χρήση της τεχνητής νοημοσύνης. Η περίληψη παρουσιάζει την KLS, μαζί με το πρόβλημα τομής του Bourgain και την εικασία διακύμανσης, ως κινητήριες δυνάμεις των μαθηματικών εξελίξεων στη γεωμετρία υψηλών διαστάσεων τις τελευταίες δεκαετίες.

Οι Krishnakumar Balasubramanian και Shiva Kasiviswanathan δημοσίευσαν ξεχωριστή απόδειξη, με τίτλο Ένα φράγμα ανεξάρτητο από τη διάσταση για τη σταθερά Poincaré ισοτροπικών λογαριθμικά κοίλων μέτρων, η οποία υποβλήθηκε αρχικά στις 6 Οκτωβρίου 2026 και αναθεωρήθηκε στις 8 Οκτωβρίου 2026. Η περίληψή της περιγράφει μια ντετερμινιστική αποδεικτική προσέγγιση μέσω μεταβολών, με ρητό φράγμα 25 για τη σταθερά Poincaré οποιουδήποτε ισοτροπικού λογαριθμικά κοίλου μέτρου πιθανότητας.

Ακολούθησε μια τυποποίηση σε Lean 4 με την ονομασία KLS500, η οποία τυποποιεί μια σταθερά Poincaré ανεξάρτητη από τη διάσταση, το πολύ ίση με 500, για κάθε ισοτροπικό λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας. Σύμφωνα με το αποθετήριο, η ανάπτυξη βασίζεται κυρίως στην προσέγγιση των αθροιστικών μεγεθών και της ανάρτησης των Bizeul, Klartag και Lehec, ενσωματώνοντας το κριτήριο κλίσης–φάσματος των Song και Zhang, ενώ η επαλήθευσή της ανακατασκεύασε 1.710 μαθηματικές ενότητες με μηδενικό επίπεδο εμπιστοσύνης στον πυρήνα. Η επαλήθευση σε Lean πέρασε επίσης για την ακριβή διατύπωση της εικασίας KLS που όρισε η OpenAI, με χρήση της καθολικής σταθεράς Poincaré 500. Το έργο διατίθεται με άδεια Apache 2.0.

Η ανάρτηση της Microsoft Research περιγράφει τις ανεξάρτητες αποδείξεις ως μία από τις ισχυρότερες μορφές επικύρωσης στα μαθηματικά, επειδή καταδεικνύουν ότι ένα αποτέλεσμα δεν στηρίζεται σε μία και μόνη συλλογιστική πορεία. Τώρα που η εικασία έχει επιλυθεί, αναφέρει η ανάρτηση, τα αποτελέσματα που προηγουμένως βασίζονταν σε αυτήν ως παραδοχή μπορούν πλέον να διατυπωθούν χωρίς όρους. Οι συγγραφείς έχουν συντομεύσει την απόδειξή τους και έχουν επαληθεύσει το απλουστευμένο επιχείρημα σε Lean, ενώ, σύμφωνα με την ανάρτηση, σκοπεύουν να δημοσιεύσουν και τα δύο μετά τον τελικό έλεγχο.