Το AI Λύνει τα Προβλήματα Erdős. Τι Έρχεται Επόμενο;

Μόλις λίγους μήνες πριν, η ερώτηση φαινόταν κυρίως φιλοσοφική: αν η τεχνητή νοημοσύνη μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση ανοιχτών μαθηματικών προβλημάτων, τι συμβαίνει με την ιδέα της ανθρώπινης ιδιοφυΐας;

Αυτή η ερώτηση δεν είναι πλέον θεωρητική. Δύο πρόσφατες εξελίξεις που αφορούν το OpenAI και το Google DeepMind υποδηλώνουν ότι η τεχνητή νοημοσύνη μετακινείται από μαθηματικό βοηθό σε ενεργό συμμετέχοντα στη μαθηματική έρευνα. Όχι με την έννοια ότι αντικαθιστά τους μαθηματικούς ολότελα, αλλά με την πιο ακριβή και σημαντική έννοια ότι παράγει, αναζητά, ελέγχει και μερικές φορές ανακαλύπτει επιχειρήματα που μπορούν να αντέξουν την κριτική των ειδικών.

Η πρώτη εξέλιξη ήρθε από το OpenAI, το οποίο ανακοίνωσε ότι ένα εσωτερικό μοντέλο συλλογισμού γενικού σκοπού είχε επιτύχει μια σημαντική ανακάλυψη στο πρόβλημα της μονάδας απόστασης στο επίπεδο, ένα διάσημο πρόβλημα που τέθηκε από τον Paul Erdős το 1946. Το πρόβλημα ζητά πόσα ζευγάρια σημείων σε ένα επίπεδο μπορούν να είναι ακριβώς μια μονάδα απόσταση. Για δεκαετίες, η κυρίαρχη πεποίθηση ήταν ότι οι κατασκευές με τετραγωνική πλέξη ήταν ουσιαστικά βέλτιστες. Το μοντέλο του OpenAI βρήκε μια νέα οικογένεια κατασκευών που ανέτρεψε αυτή την πεποίθηση.

Η δεύτερη εξέλιξη ήρθε από ερευνητές του Google DeepMind, οι οποίοι δημοσίευσαν ένα έγγραφο με τίτλο Advancing Mathematics Research with AI-Driven Formal Proof Search. Το σύστημα τους, AlphaProof Nexus, αξιολόγησε την παραγωγή αποδείξεων με τη βοήθεια της τεχνητής νοημοσύνης σε ανοιχτά προβλήματα ερευνητικού επιπέδου και ανέφερε ότι ο ισχυρότερος πράκτοράς του έλυσε αυτόνομα 9 από 353 ανοιχτά προβλήματα Erdős. Επίσης, απέδειξε 44 από 492 ανοιχτές υποθέσεις από το Online Encyclopedia of Integer Sequences.

Μαζί, αυτά τα αποτελέσματα σηματοδοτούν μια μετατόπιση. Η σημαντική ιστορία δεν είναι ότι η τεχνητή νοημοσύνη έχει ξαφνικά λύσει τα μαθηματικά. Δεν έχει. Η σημαντική ιστορία είναι ότι τα συστήματα της τεχνητής νοημοσύνης αρχίζουν να λειτουργούν μέσα στον ερευνητικό κύκλο.

Γιατί τα Προβλήματα Erdős Είναι Ένας Σοβαρός Έλεγχος για την Τεχνητή Νοημοσύνη

Ο Paul Erdős ήταν ένας από τους πιο παραγωγικούς μαθηματικούς στην ιστορία, και τα προβλήματα που συνδέονται με το έργο του κατέχουν μια ξεχωριστή θέση στα μαθηματικά. Πολλά είναι εύκολα να εκφραστούν, δύσκολα να λυθούν, και συνδεμένα με βαθιά πεδία όπως η συνδυαστική, η θεωρία αριθμών, η θεωρία γραφημάτων και η διακριτή γεωμετρία.

Αυτό τα κάνει ασυνήθιστα χρήσιμα ως μέτρο για τη συλλογιστική της τεχνητής νοημοσύνης. Δεν είναι ασκήσεις σχολείου. Δεν είναι επίσης πάντα γιγάντιες εικασίες που ανατρέπουν θεωρίες όπως η υπόθεση Riemann. Αντίθετα, πολλά προβλήματα Erdős βρίσκονται στο μεσαίο έδαφος όπου η πρόοδος εξαρτάται από το να βρεθεί η σωστή σύνδεση, η σωστή κατασκευή ή το σωστό παραμελημένο λήμμα.

Αυτό είναι ακριβώς όπου η τεχνητή νοημοσύνη μπορεί να είναι πιο χρήσιμη στις πρώτες φάσεις. Τα σύγχρονα συστήματα συλλογισμού δεν είναι μόνο υπολογιστές. Μπορούν να εξερευνήσουν πολλές πιθανές αποδείξεις, να συγκρίνουν μερικές στρατηγικές, να ανακτήσουν μακρινές ιδέες από γειτονικά πεδία και να ελέγξουν αν ένα επιχείρημα μπορεί να γίνει αυστηρό.

Το αποτέλεσμα του OpenAI είναι εντυπωσιακό επειδή το μοντέλο δεν βελτίωσε απλώς μια γνωστή οδό. Βρήκε μια απρόσμενη γέφυρα μεταξύ διακριτής γεωμετρίας και αλγεβρικής θεωρίας αριθμών. Αυτός είναι ο τύπος εννοιολογικού άλματος που οι μαθηματικοί συνήθως συνδέουν με την αληθινή δημιουργικότητα.

OpenAI και η Πρόοδος στην Απόσταση Μονάδας

Το πρόβλημα της απόστασης μονάδας στο επίπεδο είναι απλό να περιγραφεί. Τοποθετήστε n σημεία στο επίπεδο. Μετρήστε πόσα ζευγάρια σημείων είναι ακριβώς μια μονάδα απόσταση. Ο στόχος είναι να κατανοηθεί πόσο μεγάλο μπορεί να είναι αυτό το μέτρημα καθώς n αυξάνεται.

Για σχεδόν 80 χρόνια, οι μαθηματικοί υποψιάζονταν ότι οι καλύτερες κατασκευές δεν θα ξεπερνούσαν δραματικά τις διατάξεις βασισμένες σε τετραγωνικό πλέγμα. Το μοντέλο του OpenAI προκάλεσε αυτή την υπόθεση παράγοντας μια άπειρη οικογένεια παραδειγμάτων που ξεπερνούσε το αναμενόμενο όριο με μια πολυωνυμική βελτίωση.

Αυτό έχει σημασία για δύο λόγους. Πρώτον, αλλάζει την μαθηματική εικόνα. Υποδηλώνει ότι οι κατασκευές της θεωρίας αριθμών μπορεί να έχουν περισσότερα να συνεισφέρουν στη διακριτή γεωμετρία από ό,τι πολλοί ερευνητές υποψιάζονταν. Δεύτερον, αλλάζει την εικόνα της τεχνητής νοημοσύνης. Το μοντέλο που ήταν εμπλεκόμενο περιγράφηκε ως ένα μοντέλο συλλογισμού γενικού σκοπού, όχι ως ένα σύστημα που κατασκευάστηκε μόνο για αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα.

Με άλλα λόγια, το σύστημα φαίνεται να έχει μεταφέρει τη δύναμη συλλογισμού σε ένα άγνωστο ερευνητικό περιβάλλον. Δεν απομνημόνευσε απλώς μια γνωστή απόδειξη. Παρήγαγε ένα αποτέλεσμα που οι εξωτερικοί μαθηματικοί αντιμετώπισαν ως μια σημαντική συνεισφορά.

Google DeepMind και Αναζήτηση Τυπικών Αποδείξεων

Το έγγραφο του Google DeepMind αντιμετωπίζει ένα διαφορετικό αλλά εξίσου σημαντικό ερώτημα: πώς μπορεί η μαθηματική απόδειξη που παράγεται από την τεχνητή νοημοσύνη να γίνει αξιόπιστη;

Τα μοντέλα γλωσσών μπορούν να παράγουν εύγλωττα επιχειρήματα που περιέχουν λεπτά λάθη. Σε κανονική πρόζα, αυτά τα λάθη μπορεί να είναι δύσκολο να ανιχνευτούν. Στα μαθηματικά, ένα λάθος βήμα μπορεί να ακυρώσει ολόκληρη την απόδειξη. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο τα συστήματα τυπικής απόδειξης όπως το Lean έχουν σημασία. Το Lean δεν ενδιαφέρεται αν ένα επιχείρημα ακούγεται πειστικό. Κάθε λογικό βήμα πρέπει να ελεγχθεί.

Το AlphaProof Nexus χρησιμοποιεί αυτή τη συνθήκη ως μέρος της ροής εργασίας. Οι πράκτορες της τεχνητής νοημοσύνης παράγουν απόπειρες αποδείξεων στο Lean, λαμβάνουν ανατροφοδότηση από τον μεταγλωττιστή, αναθεωρούν την προσέγγισή τους και συνεχίζουν την αναζήτηση. Η ισχυρότερη από τις δύο εκδόσεις συντονίζει τους υποπράκτορες και χρησιμοποιεί πιο προηγμένα εργαλεία απόδειξης για να εστιάσει την αναζήτηση.

Το αποτέλεσμα του DeepMind είναι ιδιαίτερα σημαντικό επειδή συνδέει τον συλλογισμό της τεχνητής νοημοσύνης με την επαλήθευση. Δεν χρειάζεται να εμπιστευόμαστε το σύστημα με τον ίδιο τρόπο που εμπιστευόμαστε ένα chatbot φυσικής γλώσσας. Η απόδειξή του είτε περνά τη μεταγλώττιση είτε όχι.

Τι Αυτό Σημαίνει για την Μαθηματική Έρευνα

Το τρέχον μάθημα δεν είναι ότι οι μαθηματικοί είναι παρωχημένοι. Είναι ότι ο φραγμός στα μαθηματικά μπορεί να αλλάξει.

Ιστορικά, ένας ερευνητής έπρεπε να κάνει σχεδόν τα πάντα: να διατυπώσει το πρόβλημα, να επιθεωρήσει τη βιβλιογραφία, να δοκιμάσει ιδέες, να κατασκευάσει την απόδειξη, να ελέγξει κάθε βήμα και να επικοινωνήσει το αποτέλεσμα. Η τεχνητή νοημοσύνη απειλεί να ανακατανείμει αυτό το έργο. Κάποια μέρη της ροής εργασίας μπορεί να γίνουν ταχύτερα, φθηνότερα και πιο αυτοματοποιημένα.

• Η τεχνητή νοημοσύνη μπορεί να εξερευνήσει πολλές οδούς αποδείξεων πριν ένας άνθρωπος δεσμεύσει χρόνο σε μια.
• Τα τυπικά συστήματα μπορούν να επαληθεύσουν βήματα που θα χρειάζονταν αργή έμπειρη επιθεώρηση.
• Οι ερευνητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν την τεχνητή νοημοσύνη για να αναζητήσουν σε μακρινά μαθηματικά υποπεδία.

Αυτό θα μπορούσε να παράγει ένα νέο ερευνητικό στυλ. Αντί να ζητούν από την τεχνητή νοημοσύνη μια απάντηση, οι μαθηματικοί μπορεί να εποπτεύουν ολοένα και περισσότερο στόλους πρακτόρων αποδείξεων. Ο ανθρώπινος ρόλος γίνεται λιγότερο σαν υπολογιστής και περισσότερο σαν ερευνητικός διευθυντής: επιλέγοντας το σωστό πρόβλημα, ερμηνεύοντας τα αποτελέσματα, ανιχνεύοντας την εννοιολογική σημασία και αποφασίζοντας ποιες οδοί αξίζουν μεγαλύτερη προσοχή.

Τα Όρια Παραμένουν Πραγματικά

Είναι σημαντικό να μην υπερτιμήσουμε τη σημασία της στιγμής. Το σύστημα του Google DeepMind έλυσε 9 από τα 353 προβλήματα Erdős που επιχείρησε να λύσει. Αυτό είναι εντυπωσιακό, αλλά επίσης σημαίνει ότι τα περισσότερα παρέμειναν ανεπίλυτα. Το αποτέλεσμα της απόστασης μονάδας του OpenAI είναι ένα ορόσημο, αλλά δεν σημαίνει ότι κάθε διάσημη υπόθεση είναι τώρα εύκολα προσβάσιμη.

Τα συστήματα της τεχνητής νοημοσύνης εξακολουθούν να δυσκολεύονται όταν ένα πρόβλημα απαιτεί μια νέα εννοιολογική πλαισιοποίηση, όταν τα σχετικά μαθηματικά είναι ανεπαρκώς τυποποιημένα ή όταν μια απόδειξη εξαρτάται από μακρές αλυσίδες διορατικών συλλήψεων που δεν μπορούν να αναλυθούν εύκολα σε αναζητήσιμα βήματα. Οι βιβλιοθήκες τυπικών αποδείξεων είναι επίσης ανώμαλες. Οι περιοχές με ωριμότητα Lean είναι πιο προσιτές στα συστήματα της τεχνητής νοημοσύνης από τις περιοχές όπου το θεμελιώδες υλικό πρέπει ακόμη να κωδικοποιηθεί.

• Τα συστήματα εξακολουθούν να εξαρτώνται από την ανθρώπινη επιλογή και ερμηνεία του προβλήματος.
• Η τυποποίηση μπορεί να είναι δύσκολη όταν οι ορισμοί είναι αμφίβολοι ή υπό αναπτύξη.
• Οι απόπειρες αποδείξεων που παράγονται από την τεχνητή νοημοσύνη μπορούν ακόμα να κρύψουν σκληρή δουλειά μέσα σε αναπόδεικτους βοηθητικούς ισχυρισμούς.

Αυτά τα όρια δεν είναι αποτυχίες. Διευκρινίζουν πού πρέπει να σημειωθούν οι επόμενες πρόοδοι. Καλύτεροι πράκτορες απόδειξης θεωρημάτων, πλουσιότερες βιβλιοθήκες τυπικών αποδείξεων, ισχυρότερες ροές επαλήθευσης και πιο αποτελεσματικές διεπαφές ανθρώπου-τεχνητής νοημοσύνης θα έχουν όλες σημασία.

Τι Έρχεται Επόμενο Μετά την Τεχνητή Νοημοσύνη να Λύσει τα Προβλήματα Erdős;

Το πιθανότερο κοντινό μέλλον δεν είναι μια δραματική στιγμή όπου η τεχνητή νοημοσύνη λύνει όλα τα μαθηματικά. Είναι μια σταθερή επέκταση της ερευνητικής βοήθειας της τεχνητής νοημοσύνης σε περιοχές με καθαρές δηλώσεις προβλημάτων, ισχυρές τυπικές βιβλιοθήκες και μεγάλους όγκους θραυσμάτων προηγούμενης εργασίας.

Η συνδυαστική, η θεωρία γραφημάτων, η θεωρία αριθμών, η βελτιστοποίηση και η διακριτή γεωμετρία είναι φυσικοί πρώτοι στόχοι. Αυτά τα πεδία συχνά περιέχουν προβλήματα όπου η ερώτηση είναι σύντομη, αλλά η λύση εξαρτάται από τον συνδυασμό ιδεών από μακρινούς τομείς. Η τεχνητή νοημοσύνη είναι καλά προσαρμοσμένη σε αυτό το είδος αναζήτησης.

Με τον καιρό, το ίδιο μοτίβο θα μπορούσε να επεκταθεί πέρα από τα μαθηματικά. Αν ένα μοντέλο μπορεί να διατηρεί τη συνοχή ενός δύσκολου επιχειρήματος, να δοκιμάσει ενδιάμεσους ισχυρισμούς και να συνδέσει ιδέες σε διαφορετικά πεδία, αυτές οι ικανότητες έχουν σημασία στη φυσική, τη βιολογία, την επιστήμη των υλικών, την κρυπτογραφία και την έρευνα της ίδιας της τεχνητής νοημοσύνης.

Η βαθύτερη συνέπεια είναι πολιτιστική. Τα μαθηματικά πάντα εκτιμούσαν την απόδειξη, αλλά και τη μαθηματική αισθητική κρίση: την ικανότητα να γνωρίζουν ποιο πρόβλημα έχει σημασία, ποια αφαίρεση αξίζει να εφευρεθεί και ποιο αποτέλεσμα αλλάζει το σχήμα ενός πεδίου. Όσο η αναζήτηση απόδειξης γίνεται πιο αυτοματοποιημένη, η αισθητική κρίση μπορεί να γίνει πιο σημαντική, όχι λιγότερο.

Συμπέρασμα: Η ιδιοφυΐα μετατοπίζεται σε καθήκοντα υψηλότερου επιπέδου

Η απάντηση στην προηγούμενη ερώτηση είναι τώρα πιο σαφής. Αν η τεχνητή νοημοσύνη μπορεί να λύσει ανοιχτά μαθηματικά προβλήματα, η ανθρώπινη ιδιοφυΐα δεν εξαφανίζεται. Μετατοπίζεται σε καθήκοντα υψηλότερου επιπέδου.

Η σπάνια ικανότητα δεν θα είναι η ικανότητα να διεκπεραιώνει κανείς μόνος του κάθε τεχνικό βήμα. Θα είναι η ικανότητα να θέτει τα σωστά ερωτήματα, να διαμορφώνει τις σωστές αφαιρέσεις, να κρίνει τη σημασία των αποτελεσμάτων που ανακαλύπτονται από την τεχνητή νοημοσύνη και να οδηγεί τα συστήματα της τεχνητής νοημοσύνης προς προβλήματα που έχουν σημασία.

Η πρόοδος της απόστασης μονάδας του OpenAI και τα αποτελέσματα της αναζήτησης τυπικής απόδειξης του Google DeepMind δεν κλείνουν το βιβλίο στην ανθρώπινη μαθηματική δημιουργικότητα. Ανοίγουν ένα νέο κεφάλαιο στο οποίο οι μαθηματικοί μπορεί να εργαστούν με συστήματα που μπορούν να εξερευνήσουν το έδαφος γρηγορότερα από οποιοδήποτε ανθρώπινο μυαλό.

Το μέλλον των μαθηματικών μπορεί να μην ανήκει στους ανθρώπους ή τις μηχανές μόνο. Μπορεί να ανήκει στους ερευνητές που μαθαίνουν να κάνουν και τα δύο να σκέφτονται μαζί.