Buckmaster og Alpöge offentliggør AI‑flydende blowup‑beviser, benægter OpenAI‑kontakt

NYU-matematikeren Tristan Buckmaster og Anthropic-forsker Levent Alpöge har offentligt lagt tre preprints ud, som etablerer endelig‑tids‑blowup med glat tvang for den inkompressible porøse medium‑ligning, det todimensionale Boussinesq‑system og de tredimensionale inkompressible Euler‑ligninger, sammen med Lean‑formaliseringer af beviserne. I en erklæring offentliggjort sammen med preprints’erne beskriver Buckmaster også sine kontakter med OpenAI, hvor han skriver, at virksomheden fortalte ham, at en intern model havde produceret et ca. 100‑siders bevis på endelig‑tids‑blowup for de tvungne Navier–Stokes‑ligninger — en af retningerne for et af Clay Mathematics Institutes Millennium‑præmie‑problemer. Clays officielle problemside fortsætter med at liste Navier–Stokes‑eksistens‑ og glathed‑problemet som uløst. OpenAI havde per 8. september 2026 ikke offentliggjort nogen meddelelse om et sådant resultat på deres nyhedsside, og Buckmaster oplyser, at han ikke har set beviset.

De offentliggjorte resultater

Preprintsene viderefører blowup‑programmet fra Diego Córdoba og Luis Martínez‑Zoroa til glat tvang på tværs af tre model‑ligninger. Euler‑papiret konstruerer en endelig‑tids‑singularitet for de inkompressible Euler‑ligninger i tredimensionelt rum med en kraft, der forbliver glat i rum og tid op til og med blowup‑tidspunktet. Den indledende hastighed er glat, aksysymmetrisk med ikke‑nul rotation og nul meridional komponent, og er støttet i en fast solid torus; vorticitets‑ og cirkulations‑gradientnormerne går mod uendelig ved den afsluttende tid, og løsningen forbliver glat og entydig i en angivet endelig‑energi‑klasse på hvert tidligere lukket interval. Papiret beskriver konstruktionen som en fortsættelse af Córdoba–Martínez‑Zoroa‑programmet om singularitetsdannelse gennem interagerende lag på successivt mindre skalaer.

Boussinesq‑papiret beviser endelig‑tids‑blowup for det inviskide Boussinesq‑system på planet med glat tvang i begge ligninger, ud fra en glat kompakt‑støttet starttemperatur og nul start‑hastighed. Temperaturen forbliver begrænset, mens dens gradientnorm går mod uendelig, og vorticitetsnormen har uendelig limsup, med begge kræfter glatte i hver blandet afledning på det lukkede tidsinterval og støttet i en fast kugle. IPM‑papiret, derudover medforfattet af Matei P. Coiculescu, beviser endelig‑tids‑blowup for den inkompressible porøse medium‑ligning på den todimensionale torus med en uniformt rum‑tid‑glat kraft, og udvider et tidligere Córdoba–Martínez‑Zoroa‑resultat, hvor tvangen kun var glat i rummet.

Alle tre arbejder blev verificeret i Lean‑bevisassistenten, og forfatterne lagde formaliseringerne ud på et offentligt repository, som indeholder separate Euler‑ og Boussinesq‑blowup‑moduler. I sin erklæring skriver Buckmaster, at han og Alpöge også mener, at de har opnået blowup for hypodissipativ Navier–Stokes, men de udgiver ikke papiret, fordi Lean‑verificeringen ikke er færdig, og der ikke findes en præsentabel skrivning.

LLM’er i beviserne

Forfatterne afslører omfattende brug af store sprogmodeller i hele projektet. IPM‑papiret angiver, at forfatterne brugte Anthropics Claude til at identificere nøgleelementer i den tidligere Córdoba–Martínez‑Zoroa‑bevis og reproducere argumentet, samt brugte Claude og OpenAIs Codex til at skrive hoveddelen af teksten, idet de overlod bogføring af induktive ordener og konstanter til modellerne under forfatternes vejledning; introduktionen blev skrevet af de anførte forfattere. Boussinesq‑papirets AI‑erklæring rapporterer, at parret opnåede deres første blowup‑løsning den 15. august 2026, og Lean‑verificerede den den 22. august 2026, og at de itererede på skrivningerne med Claude og Codex, senere ved brug af modellerne 5.6 Sol og Astra, sidstnævnte kun til skrivninger og revision af argumenter. Buckmasters erklæring siger, at det første LLM‑genererede bevis, Alpöge sendte ham, var “det mest forfærdelige, jeg nogensinde har læst”, og Boussinesq‑AI‑erklæringen kalder den første model‑producerede skrivning for den værste, forfatterne nogensinde har set i matematik. Buckmaster beskriver den udgivne Euler‑skrivning som tættere på modeloutput under menneskelig styring end på et menneskeskabt papir, og undskylder for præsentationen samt peger på eksternt pres for den fremskudte udgivelse.

Buckmaster skriver, at samarbejdet var udelukkende personligt, uden institutionelle aftaler eller officiel involvering fra nogen af arbejdsgiverne, og at han betalte for værktøjerne, herunder en stor OpenAI‑regning, af sine egne forskningsmidler. Han tilskriver kredit for programmets grundlæggende idéer til Córdoba og Martínez‑Zoroa og skriver, at parret i flere år har undersøgt tvungne blowup‑konstruktioner, og at han efter sin mening mener, at Martínez‑Zoroa fortjener en Fields‑medalje.

De omstridte kontakter

Den sidste halvdel af Buckmasters erklæring er hans beretning om begivenheder, der starter den 3. september 2026, hvor han, midt i et rygte om at Anthropic havde løst et stort åbent problem, mailer en matematiker hos OpenAI for at præcisere, at arbejdet var et personligt samarbejde og ville blive offentliggjort snarest. Han skriver, at efter at have anmodet om et senere møde, blev han bedt om at mødes den 6. september, og at han og matematikeren, sammen med OpenAIs Sébastien Bubeck, talte to gange den eftermiddag uden Alpöge til stede.

På disse opkald skriver Buckmaster, at han fik at vide, at en intern OpenAI‑model havde produceret et bevis på endelig‑tids‑blowup for de tvungne Navier–Stokes‑ligninger, med eksistens både i tredimensionelt euklidisk rum og på tre‑torusen, og at tvangen var glat under to af mulighederne i Charles Feffermans officielle erklæring om Clay‑problemet. Han fortæller, at han fik at vide, at beviset var omkring 100 sider, og at “meget lidt menneskelig input” var blevet brugt — en karakterisering, som han siger, gik i opløsning under samtalen, da det kom frem, at et hold havde arbejdet på problemet, først havde sat modellen på lettere problemer inklusiv Euler, og endda havde skrevet den viste prompt ved at prompt‑e Codex. Buckmaster skriver, at man til sidst blev enige om, at den første prompt var blevet sendt i de foregående dage, efter information om parrets arbejde var nået OpenAI. Da han spurgte, om modellen var blevet trænet på eller havde adgang til deres Codex‑sessioner, hvori de havde placeret alle projektets udkast, fik han at vide, at modellen ikke slår brugerdata op; på træningsspørgsmålet skriver han, “Jeg fik intet svar”.

Buckmaster beskriver to forslag, som han siger, blev fremsat for ham: at parret skulle offentliggøre deres Euler‑resultat, mens OpenAI offentliggør deres Navier–Stokes‑resultat dagen efter, eller at Buckmaster alene skulle skrive et papir, der præsenterer Navier–Stokes‑resultatet, mens han anerkender, at en intern OpenAI‑model havde løst det. Han skriver, at Bubeck to gange påstod, at han ønskede at fjerne Alpöge fra forfatterskabet, med henvisning til Alpöges ansættelse hos Anthropic, og at det blev sagt, at OpenAI ville, hvis de offentliggjorde efter parret, kreditere dem som berettigede til Clay‑prisen og som de “tætteste mennesker på problemet”. Buckmaster skriver, at han afslog begge tilbud og sagde, at han ville gå offentligt, hvis OpenAI frigav resultatet som foreslået; han gengiver svaret, “Hvorfor ville du ødelægge din karriere?” efterfulgt, da han spurgte, hvorfor en offentliggørelse ville ødelægge hans karriere, af “Hvis du ikke vil have, at jeg er venlig, så behøver jeg ikke at være venlig”.

Buckmaster fastslår tydeligt, hvad han ikke påstår: han har ikke set OpenAIs bevis, han ved ikke, hvad modellen gjorde eller hvordan, og han ved ikke, om parrets data blev brugt. “Jeg anklager ingen for noget,” skriver han. “Jeg angiver blot, hvad jeg blev fortalt, hvornår, og hvad der blev foreslået for mig.” Han tilføjer, at hvis en OpenAI‑model faktisk har lukket hullet til Navier–Stokes, “er det en bemærkelsesværdig ting, og det bør siges højt, af dem, med historien intakt”.

Clay‑instituttets million‑dollar Millennium‑præmie kræver, i Feffermans formulering, et bevis enten på at glatte løsninger til de tredimensionale Navier–Stokes‑ligninger eksisterer for evigt, eller at de bryder sammen i endelig tid; de offentliggjorte preprints omhandler de tvungne Euler‑, Boussinesq‑ og IPM‑ligninger, som mangler den viskositets‑term, der adskiller Navier–Stokes.