Buckmaster og Alpöge offentliggør AI‑væske‑blowup‑beviser, detaljer om OpenAI‑samtaler

NYU‑matematiker Tristan Buckmaster og Anthropic‑forsker Levent Alpöge har offentligt lagt tre preprints ud, som etablerer endelig‑tids‑blowup med glat tvang for den inkompressible porøse medium‑ligning, det todimensionale Boussinesq‑system og de tredimensionale inkompressible Euler‑ligninger, sammen med Lean‑formaliseringer af beviserne. I en erklæring lagt ved preprints’ene fortæller Buckmaster også om kontakter med OpenAI, hvor han skriver, at virksomheden fortalte ham, at en intern model havde produceret et cirka 100‑siders bevis på endelig‑tids‑blowup for de tvungne Navier–Stokes‑ligninger — en af retningerne for et af Clay Mathematics Institutes Millennium‑præmie‑problemer. Clays officielle problemside fortsætter med at liste Navier–Stokes‑eksistens‑ og glathed‑problemet som uløst. OpenAI havde ikke offentliggjort nogen meddelelse om et sådant resultat på sin nyhedsside pr. 8. september 2026, og Buckmaster oplyser, at han ikke har set beviset.

De offentliggjorte resultater

Preprints’ene viderefører Diego Córdoba‑ og Luis Martínez‑Zoroa‑programmet for blowup med glat tvang på tværs af tre model‑ligninger. Euler‑papiret konstruerer en endelig‑tids‑singularitet for de inkompressible Euler‑ligninger i tredimensionelt rum med en kraft, der forbliver glat i både rum og tid op til og inklusive blowup‑tidspunktet. Den indledende hastighed er glat, aksissymmetrisk med ikke‑nul rotation og nul meridional komponent, og er understøttet i en fast solid torus; vorticitet‑ og cirkulations‑gradient‑normerne går mod uendelig ved den sidste tid, og løsningen forbliver glat og entydig i en angivet endelig‑energi‑klasse på hvert tidligere lukket interval. Papiret beskriver konstruktionen som en fortsættelse af Córdoba‑Martínez‑Zoroa‑programmet om singularitetsdannelse gennem interagerende lag på successivt mindre skalaer.

Boussinesq‑papiret beviser endelig‑tids‑blowup for det inviscide Boussinesq‑system på planet med glat tvang i begge ligninger, fra en glat kompakt understøttet indledende temperatur og nul indledende hastighed. Temperaturen forbliver begrænset, mens dens gradientnorm går mod uendelig, og vorticitetsnormen har uendelig limsup, med begge kræfter glatte i hver blandet afledt på det lukkede tidsinterval og understøttet i en fast kugle. IPM‑papiret, der desuden er medforfattet af Matei P. Coiculescu, beviser endelig‑tids‑blowup for den inkompressible porøse medium‑ligning på den todimensionale torus med en uniformt rum‑tid‑glat kraft, og udvider et tidligere Córdoba‑Martínez‑Zoroa‑resultat, hvor tvangen kun var glat i rum.

Alle tre arbejder blev verificeret i Lean‑bevisassistenten, og forfatterne lagde formaliseringerne ud på et offentligt repository, som indeholder separate Euler‑ og Boussinesq‑blowup‑moduler. I sin erklæring skriver Buckmaster, at han og Alpöge også mener, at de har blowup for hypodissipativ Navier–Stokes, men at de ikke udgiver den artikel, fordi Lean‑verificeringen endnu ikke er afsluttet, og der ikke findes et præsentabelt manuskript.

LLM’er i beviserne

Forfatterne afslører omfattende brug af store sprogmodeller gennem hele projektet. IPM‑papiret angiver, at forfatterne brugte Anthropic’s Claude til at identificere nøgleelementer i det tidligere Córdoba‑Martínez‑Zoroa‑bevis og reproducere argumentet, samt brugte Claude og OpenAI’s Codex til at skrive hoveddelen af teksten, mens de overlod bogføring af induktive ordener og konstanter til modellerne under forfatternes vejledning; introduktionen blev skrevet af de anførte forfattere. Boussinesq‑papirets AI‑erklæring rapporterer, at parret opnåede deres første blowup‑løsning den 15. august 2026, og Lean‑verificerede den den 22. august 2026, og at de itererede på manuskripterne med Claude og Codex, senere ved brug af modellerne 5.6 Sol og Astra, sidstnævnte kun til manuskripter og revision af argumenter. Buckmasters erklæring siger, at det første LLM‑genererede bevis, Alpöge sendte ham, var “det mest forfærdelige, jeg nogensinde har læst,” og Boussinesq‑AI‑erklæringen kalder den første model‑producerede manuskript det værste, forfatterne nogensinde har set i matematik. Buckmaster beskriver det frigivne Euler‑manuskript som tættere på modeloutput under menneskelig vejledning end på et menneskeskrevet papir, undskylder for præsentationen og peger på eksternt pres for den accelererede udgivelse.

Buckmaster skriver, at samarbejdet var rent personligt, uden institutionelle aftaler eller officiel involvering fra nogen af arbejdsgiverne, og at han selv betalte for værktøjerne, inklusive en stor OpenAI‑regning, fra sine egne forskningsmidler. Han tilskriver de grundlæggende idéer i programmet til Córdoba og Martínez‑Zoroa, og skriver, at parret har udforsket tvungne blowup‑konstruktioner i flere år, og at efter hans mening fortjener Martínez‑Zoroa en Fields‑medalje.

De omstridte kontakter

Den sidste del af Buckmasters erklæring er hans beretning om begivenhederne fra den 3. september 2026, da, med et rygte om at Anthropic havde løst et stort åbent problem, han mailede en matematiker hos OpenAI for at præcisere, at arbejdet var et personligt samarbejde og ville blive lagt ud snarest. Han skriver, at efter at have anmodet om et senere møde, blev han bedt om at mødes den 6. september, og at han og matematikeren, sammen med OpenAI’s Sébastien Bubeck, talte to gange den eftermiddag uden Alpöge til stede.

På de samtaler, skriver Buckmaster, blev han fortalt, at en intern OpenAI‑model havde produceret et bevis på endelig‑tids‑blowup for de tvungne Navier–Stokes‑ligninger, med eksistens både i tredimensionelt euklidisk rum og på tre‑torusen, og at tvangen var glat under to af mulighederne i Charles Feffermans officielle erklæring om Clay‑problemet. Han gengiver, at beviset var omkring 100 sider, og at “meget lidt menneskelig input” var blevet brugt — en karakteristik, som han siger, blev afklaret under samtalen, da det fremkom, at et hold havde arbejdet på problemet, først havde sat modellen på lettere problemer inklusiv Euler, og endda havde skrevet den viste prompt ved at prompt‑e Codex. Buckmaster skriver, at det til sidst blev aftalt, at den første prompt var blevet sendt i de foregående dage, efter at information om parrets arbejde var nået OpenAI. Da han spurgte, om modellen var blevet trænet på eller havde adgang til deres Codex‑sessioner, hvor de havde placeret alle projektets udkast, fik han svar, at modellen ikke slår brugerdata op; på træningsspørgsmålet skriver han, “Jeg fik ikke svar.”

Buckmaster beskriver to forslag, som han siger, blev stillet ham: at parret skulle offentliggøre deres Euler‑resultat, mens OpenAI offentliggjorde deres Navier–Stokes‑resultat dagen efter, eller at Buckmaster alene skulle skrive en artikel, der præsenterer Navier–Stokes‑resultatet, mens han anerkendte, at en intern OpenAI‑model havde løst det. Han skriver, at Bubeck to gange hævdede, at han ønskede at fjerne Alpöge fra forfatterskabet, med henvisning til Alpöges ansættelse hos Anthropic, og at det blev sagt, at OpenAI ville, hvis de offentliggjorde efter parret, kreditere dem som fortjente Clay‑prisen og som de “tætteste mennesker på problemet.” Buckmaster skriver, at han afslog begge tilbud og sagde, at han ville gå offentligt, hvis OpenAI frigav resultatet som foreslået; han gengiver svaret, “Hvorfor ville du ødelægge din karriere?” efterfulgt af, da han spurgte, hvorfor det at gå offentligt ville ødelægge hans karriere, med “Hvis du ikke vil have, at jeg er venlig, så behøver jeg ikke at være venlig.”

Buckmaster angiver klart, hvad han ikke påstår: han har ikke set OpenAI’s bevis, han ved ikke, hvad modellen gjorde eller hvordan, og han ved ikke, om parrets data blev brugt. “Jeg anklager ingen for noget,” skriver han. “Jeg angiver blot, hvad jeg blev fortalt, hvornår, og hvad der blev foreslået for mig.” Han tilføjer, at hvis en OpenAI‑model lukkede hullet til Navier–Stokes, “det er en bemærkelsesværdig ting, og det bør siges højt, af dem, med historien intakt.”

Clay‑instituttets million‑dollar Millennium‑præmie kræver, ifølge Feffermans formulering, et bevis enten på at glatte løsninger til de tredimensionale Navier–Stokes‑ligninger eksisterer for al tid, eller at de bryder sammen i endelig tid; de offentliggjorte preprints adresserer de tvungne Euler‑, Boussinesq‑ og IPM‑ligninger, som mangler den viskositets‑term, der adskiller Navier–Stokes.