Microsoft-onderzoeker en medewerker bewijzen 31 jaar oud KLS-vermoeden

Microsoft Research maakte op 21 oktober 2026 bekend dat Xinzhi Zhang, senior onderzoeker in de groep Machine Learning and Optimization, en zijn medewerker Zhao Song het vermoeden van Kannan–Lovász–Simonovits hebben bewezen. Het gaat om een 31 jaar oud vraagstuk in de hoogdimensionale meetkunde en kansrekening, dat ze oplosten met een door mensen aangestuurd AI-onderzoeksproces met agenten.

Het vermoeden en de nieuwe bovengrens

Het bewijs staat in het 140 pagina’s tellende artikel Een O(1)-bovengrens voor de KLS-constante, op naam van Zhao Song en Xinzhi Zhang. Het artikel werd op 1 oktober 2026 voor het eerst ingediend bij arXiv en op 4 oktober 2026 herzien; Zhang was de indienende auteur. In het abstract staat dat de auteurs bewijzen dat de KLS-constante ψ_n van boven wordt begrensd door een universele constante C, waarmee het vermoeden wordt opgelost. Ook bewijzen ze een universele bovengrens voor de Poincaré-constante van elke isotrope log-concave kansmaat.

Formeel vraagt het vermoeden, dat in 1995 werd geformuleerd, of de Cheeger-constante van elke isotrope log-concave kansmaat op een n-dimensionale ruimte van onderaf wordt begrensd door een universele positieve constante. Eenvoudiger gezegd, aldus het bericht van Microsoft Research, komt het erop neer of voor een brede klasse van hoogdimensionale kansverdelingen de beste vlak- of hypervlaksnede altijd bijna even effectief is als de beste snede van willekeurige vorm, waarbij het verschil tussen beide niet groter is dan een universele constante, ongeacht het aantal dimensies. Omdat de meetkunde van deze sneden bepaalt hoe snel random walks een verdeling kunnen verkennen, speelt het vermoeden een centrale rol in de theorie van hoogdimensionale steekproeftrekking.

Vóór dit werk was het beste bekende resultaat het 21 pagina’s tellende artikel De KLS-constante is O(log^{1/4} n) van Brayden Letwin, dat op 27 juli 2026 werd ingediend. Daarin werd aangetoond dat ψ_n hoogstens een constante maal log^{1/4} n is. Zoals het bericht van Microsoft Research opmerkt, nam deze bovengrens nog langzaam toe naarmate het aantal dimensies groter werd. Het nieuwe resultaat geldt met een vaste bovengrens die niet verandert met de dimensie.

Het belang van het vermoeden werd al ruim vóór de oplossing ervan erkend. Volgens het bericht noemde het jaarverslag 2017–18 van het Mathematical Sciences Research Institute KLS een centraal open probleem in de hoogdimensionale convexe meetkunde. Het Simons Institute omschreef het als een van de belangrijkste open problemen in de convexe meetkunde, en Ronen Eldan wees in de proceedings van het International Congress of Mathematicians van 2022 op de brede implicaties ervan.

Een door mensen aangestuurd onderzoeksproces met AI-agenten

Volgens het bericht begonnen de auteurs met pogingen om het resultaat uit juli 2026 te verbeteren. Met een gestructureerd, door mensen aangestuurd proces met AI-agenten onderzochten ze meer dan 100 mogelijke benaderingen. Veel daarvan omvatten langdurige berekeningen met tensoren van hogere orde. Zo ontwikkelden ze een nieuw wiskundig criterium dat de basis werd voor het uiteindelijke bewijs.

Vervolgens ontdekten de auteurs dat ze het criterium recursief konden toepassen: elke verbeterde bovengrens werd opnieuw in hetzelfde argument ingevoerd om een nog scherpere bovengrens te verkrijgen. In de versie van het artikel van 1 oktober 2026 bracht dit de afhankelijkheid van de dimensie terug tot de herhaald toegepaste logaritme. Die groeit uiterst langzaam, maar blijft toenemen met de dimensie, zodat het vermoeden nog niet was opgelost. De laatste stap was om de volledige recursieve verfijning te herhalen in plaats van die slechts eenmaal toe te passen. Volgens het bericht was dit idee geïnspireerd op eerder werk van de auteurs aan snelle algoritmen voor lineaire programmering. De auteurs bewezen dat de kleine fouten die in elke stap ontstaan snel genoeg afnemen, zodat hun totale omvang begrensd blijft door een universele constante die onafhankelijk is van de dimensie. Daarmee was het bewijs in de versie van 4 oktober 2026 voltooid.

Volgens het bericht zijn de recursieve methode, de herhaalde toepassing ervan en het argument dat de fouten begrensd blijven, oorspronkelijke bijdragen van de onderzoekers. AI-tools hielpen bij het verkennen van mogelijke benaderingen, het uitvoeren van gedetailleerde afleidingen, het voorbereiden van het manuscript en het intern controleren van het bewijs. De onderzoekers bepaalden echter de wiskundige richting, selecteerden de kansrijke ideeën, brachten die samen in het uiteindelijke argument en controleerden het bewijs. Het bericht beschrijft de methode als zoeken met agenten en iteratieve selectie met hulp van mensen: terwijl meerdere agenten parallel verschillende varianten van een idee onderzochten, bekeek de onderzoeker tussentijdse resultaten, schrapte weinig kansrijke richtingen en gaf het meest veelbelovende resultaat door aan de volgende ronde. Voordat de belangrijkste doorbraak werd bereikt, werden ongeveer honderd onderzoekstrajecten verkend.

In een afzonderlijk onderdeel van het project probeerden de auteurs het probleem herhaaldelijk en zonder sturing op te lossen met verschillende toonaangevende AI-modellen. Daarbij gebruikten ze ongeveer hetzelfde totale aantal tokens als in het hoofdproces. Volgens het bericht leverde deze poging niet het gewenste resultaat op. Het uiteindelijke succes hing, aldus het bericht, zowel af van de mogelijkheden van de AI-systemen als van het wiskundige inzicht van de onderzoekers. Het bericht bedankt Song voor zijn bijdragen aan het werk en Victor Reis en Ishai Menache voor hun gesprekken gedurende het project.

Onafhankelijke bewijzen en machinale verificatie

Op 4 oktober 2026, dezelfde dag waarop het volledige bewijs werd gepubliceerd, publiceerden Pierre Bizeul, Boaz Klartag en Joseph Lehec een parallel ontwikkeld bewijs van 32 pagina’s, getiteld Een bewijs van het vermoeden van Kannan-Lovász-Simonovits. In het abstract van het artikel staat dat „de cruciale stap in het bewijs het zeer recente criterium van Song en Zhang is, dat hoge-ordeafgeleiden van tiltgemiddelden betreft”, en in de opmerkingen op arXiv staat dat het artikel een alinea bevat waarin het gebruik van AI wordt beschreven. In het abstract wordt het KLS-vermoeden, naast het doorsnedeprobleem van Bourgain en het variantievermoeden, genoemd als een drijvende kracht achter de wiskundige ontwikkelingen in de hoogdimensionale meetkunde van de afgelopen decennia.

Krishnakumar Balasubramanian en Shiva Kasiviswanathan publiceerden een afzonderlijk bewijs, Een dimensieonafhankelijke bovengrens voor de Poincaré-constante van isotrope log-concave maten, dat voor het eerst werd ingediend op 6 oktober 2026 en op 8 oktober 2026 werd herzien. In het abstract wordt het beschreven als een deterministisch variationeel bewijs met een expliciete bovengrens van 25 voor de Poincaré-constante van elke isotrope log-concave kansmaat.

Daarna volgde een formalisering in Lean 4 met de naam KLS500, waarin een dimensieonafhankelijke Poincaré-constante van ten hoogste 500 wordt geformaliseerd voor elke isotrope log-concave kansverdeling. Volgens de repository is de ontwikkeling hoofdzakelijk gebaseerd op de cumulant- en suspensieaanpak van Bizeul, Klartag en Lehec, waarin het tilt-spectrale criterium van Song en Zhang is verwerkt; bij de verificatie werden 1.710 wiskundige modules opnieuw opgebouwd op kernelvertrouwensniveau nul. Ook de exacte formulering van het KLS-vermoeden die door OpenAI is gedefinieerd, werd in Lean geverifieerd, met gebruik van de universele Poincaré-constante 500. Het project valt onder de Apache 2.0-licentie.

In het bericht van Microsoft Research worden onafhankelijke bewijzen omschreven als een van de sterkste vormen van validatie in de wiskunde, omdat ze aantonen dat een resultaat niet op één enkele redenering berust. Nu het vermoeden is opgelost, kunnen resultaten die er eerder op steunden als aanname volgens het bericht onvoorwaardelijk worden geformuleerd. De auteurs hebben hun bewijs ingekort en de gestroomlijnde redenering in Lean geverifieerd; volgens het bericht zijn ze van plan beide na een laatste beoordeling vrij te geven.