Buckmaster et Alpöge publient des preuves de singularité de fluides par IA, contestent le contact avec OpenAI

Le mathématicien de NYU Tristan Buckmaster et le chercheur d’Anthropic Levent Alpöge ont publié publiquement trois prépublications établissant un blow‑up en temps fini avec un forçage lisse pour l’équation du milieu poreux incompressible, le système de Boussinesq bidimensionnel et les équations d’Euler incompressibles en trois dimensions, accompagnées de formalismes Lean des preuves. Dans une déclaration publiée avec les prépublications, Buckmaster raconte également ses contacts avec OpenAI au cours desquels, écrit‑il, l’entreprise lui aurait indiqué qu’un modèle interne avait produit une preuve d’environ 100 pages de blow‑up en temps fini pour les équations de Navier–Stokes forcées — la direction de l’un des problèmes du Prix du Millénaire du Clay Mathematics Institute. La page officielle du problème du Clay continue de répertorier le problème d’existence et de régularité de Navier–Stokes comme non résolu. OpenAI n’avait publié aucune annonce de ce résultat sur sa page d’actualités au 8 septembre 2026, et Buckmaster indique n’avoir jamais vu la preuve.

Les résultats publiés

Les prépublications reprennent le programme de blow‑up de Diego Córdoba et Luis Martínez‑Zoroa en l’étendant à un forçage lisse sur trois équations modèles. L’article sur Euler construit une singularité en temps fini pour les équations d’Euler incompressibles dans l’espace à trois dimensions avec une force qui reste lisse dans l’espace et le temps jusqu’au moment du blow‑up inclus. La vitesse initiale est lisse, axisymétrique avec un tourbillon non nul et aucune composante méridienne, et est supportée dans un tore solide fixe ; les normes du tourbillon et du gradient de circulation tendent vers l’infini à l’instant terminal, et la solution demeure lisse et unique dans une classe d’énergie finie déclarée sur chaque intervalle fermé antérieur. L’article décrit la construction comme une continuation du programme Córdoba–Martínez‑Zoroa sur la formation de singularités via des couches interactives à des échelles successivement plus petites.

L’article sur Boussinesq prouve un blow‑up en temps fini pour le système de Boussinesq inviscide sur le plan avec un forçage lisse dans les deux équations, à partir d’une température initiale lisse à support compact et d’une vitesse initiale nulle. La température reste bornée tandis que la norme de son gradient tend vers l’infini et la norme du tourbillon possède un limsup infini, les deux forces étant lisses dans toute dérivée mixte sur l’intervalle de temps fermé et supportées dans une même boule fixe. L’article sur IPM, co‑écrit également avec Matei P. Coiculescu, prouve un blow‑up en temps fini pour l’équation du milieu poreux incompressible sur le tore bidimensionnel avec une force uniformément lisse en espace‑temps, prolongeant un résultat antérieur de Córdoba–Martínez‑Zoroa dont le forçage n’était lisse qu’en espace.

Les trois travaux ont été vérifiés dans l’assistant de preuve Lean, et les auteurs ont publié les formalismes sur un dépôt public contenant des modules de blow‑up séparés pour Euler et Boussinesq. Dans sa déclaration, Buckmaster écrit qu’il croit, avec Alpöge, disposer d’un blow‑up pour les Navier–Stokes hypo‑dissipatifs, mais qu’ils ne publient pas cet article car la vérification Lean n’est pas terminée et aucune rédaction présentable n’existe.

LLM dans les preuves

Les auteurs déclarent une utilisation intensive de grands modèles de langage tout au long du projet. L’article sur IPM indique que les auteurs ont employé Claude d’Anthropic pour identifier les éléments clés de la preuve antérieure de Córdoba–Martínez‑Zoroa et reproduire son argument, et ont utilisé Claude et Codex d’OpenAI pour rédiger le corps principal du texte, déléguant la gestion des ordres inductifs et des constantes aux modèles sous la direction des auteurs ; l’introduction a été rédigée par les auteurs listés. La déclaration IA de l’article sur Boussinesq rapporte que le duo a obtenu sa première solution de blow‑up le 15 août 2026, et l’a vérifiée avec Lean le 22 août 2026, et qu’ils ont itéré les rédactions avec Claude et Codex, utilisant plus tard des modèles désignés 5.6 Sol et Astra, ce dernier uniquement pour les rédactions et l’audit des arguments. La déclaration de Buckmaster indique que la première preuve générée par LLM qu’Alpöge lui a envoyée était « la plus horrible que j’aie jamais lue », et la déclaration IA de Boussinesq qualifie la première rédaction produite par le modèle de la pire jamais vue par les auteurs en mathématiques. Buckmaster décrit la rédaction d’Euler publiée comme étant plus proche d’une sortie de modèle sous direction humaine qu’un article rédigé par un humain, s’excusant pour sa présentation et invoquant une pression extérieure pour une diffusion accélérée.

Buckmaster écrit que la collaboration était purement personnelle, sans accords institutionnels ni implication officielle de leurs employeurs respectifs, et qu’il a payé les outils, y compris une facture importante d’OpenAI, avec ses propres fonds de recherche. Il attribue le crédit des idées de base du programme à Córdoba et Martínez‑Zoroa, écrivant que le duo a exploré des constructions de blow‑up forcé pendant plusieurs années et que, selon lui, Martínez‑Zoroa mérite une Médaille Fields.

Les contacts contestés

La seconde moitié de la déclaration de Buckmaster relate les événements à partir du 3 septembre 2026, lorsqu’une rumeur circulait selon laquelle Anthropic aurait résolu un problème ouvert majeur. Il a alors envoyé un courriel à un mathématicien d’OpenAI pour préciser que le travail était une collaboration personnelle et serait publié rapidement. Il écrit qu’après avoir demandé une réunion ultérieure, on lui a proposé de se rencontrer le 6 septembre, et que lui et le mathématicien, rejoints par Sébastien Bubeck d’OpenAI, se sont entretenus deux fois cet après‑midi sans la présence d’Alpöge.

Lors de ces appels, Buckmaster rapporte qu’on lui a indiqué qu’un modèle interne d’OpenAI avait produit une preuve de blow‑up en temps fini pour les équations de Navier–Stokes forcées, valable à la fois dans l’espace euclidien à trois dimensions et sur le trois‑tore, le forçage étant lisse selon deux des options de la déclaration officielle de Charles Fefferman du problème du Clay. Il se souvient qu’on lui a dit que la preuve faisait environ 100 pages et que « très peu d’intervention humaine » avait été utilisée — une caractérisation qui, selon lui, s’est détériorée au cours de l’appel lorsqu’il est apparu qu’une équipe avait travaillé sur le problème, avait d’abord appliqué le modèle à des problèmes plus simples dont Euler, et avait même rédigé l’invite affichée en sollicitant Codex. Buckmaster écrit qu’il a finalement été convenu que la première invite avait été envoyée les jours précédents, après que des informations sur le travail du duo aient atteint OpenAI. Lorsqu’il a demandé si le modèle avait été entraîné sur ou avait accès à leurs sessions Codex, où ils avaient placé tous les brouillons du projet, on lui a répondu que le modèle ne consultait pas les données des utilisateurs ; à la question de l’entraînement, il écrit « Je n’ai pas obtenu de réponse ».

Buckmaster décrit deux propositions qui, selon lui, lui ont été faites : que le duo publie son résultat sur Euler avec OpenAI publiant son résultat sur Navier–Stokes le jour suivant, ou que Buckmaster seul rédige un article présentant le résultat sur Navier–Stokes tout en reconnaissant qu’un modèle interne d’OpenAI l’avait résolu. Il écrit que Bubeck a affirmé à deux reprises vouloir retirer Alpöge de la paternité, invoquant l’emploi d’Alpöge chez Anthropic, et que l’on aurait dit qu’OpenAI, s’il publiait après le duo, les créditerait comme méritants du prix Clay et comme les « humains les plus proches du problème ». Buckmaster indique qu’il a refusé les deux offres et a déclaré qu’il rendrait public le résultat si OpenAI le publiait comme proposé ; il relate la réponse : « Pourquoi ruineriez‑vous votre carrière ? », suivie, après avoir demandé pourquoi rendre public ruinerait sa carrière, de « Si vous ne voulez pas que je sois aimable, alors je n’ai pas besoin de l’être ».

Buckmaster précise clairement ce qu’il ne revendique pas : il n’a jamais vu la preuve d’OpenAI, ne sait pas ce que le modèle a fait ni comment, et ignore si les données du duo ont été utilisées. « Je n’accuse personne de quoi que ce soit », écrit‑il. « Je rapporte ce qui m’a été dit, quand, et ce qui m’a été proposé. » Il ajoute que si un modèle d’OpenAI a effectivement comblé le fossé vers Navier–Stokes, « c’est une chose remarquable et cela doit être dit haut et fort, par eux, avec l’histoire intacte. »

Le prix Millénaire d’un million de dollars du Clay Institute, selon la formulation de Fefferman, exige une preuve soit que les solutions lisses des équations de Navier–Stokes en trois dimensions existent pour tout le temps, soit qu’elles s’effondrent en temps fini ; les prépublications publiées traitent des équations d’Euler, de Boussinesq et d’IPM forcées, qui ne comportent pas le terme de viscosité qui distingue Navier–Stokes.