Buckmaster ja Alpöge julkaisevat tekoälypohjaiset fluidiräjähdyksen todistukset, tarkentavat OpenAI‑kutsut

NYU:n matemaatikko Tristan Buckmaster ja Anthropicin tutkija Levent Alpöge ovat julkisesti julkaisseet kolme esijulkaisua, joissa osoitetaan rajallinen aikarajalla tapahtuva singulariteetti sileällä pakotuksella epäkompressiolleen huokosmedia‑yhtälölle, kaksidimensionaaliselle Boussinesqin järjestelmälle sekä kolmiulotteisille epäkompressiolleen Euler‑yhtälöille, sekä Lean‑toteutukset todistuksille. In esijulkaisuihin liitetty lausunto, Buckmaster kertoo myös yhteyksistään OpenAI:hin, joissa hän kirjoittaa, että yhtiö kertoi hänelle sisäisen mallin tuottaneen noin 100‑sivuisen todistuksen pakotettujen Navier–Stokes‑yhtälöiden rajallinen‑aikaisesta singulariteetista — yksi Clay Mathematics Institute:n Millennium‑palkintotehtävistä. Clayn virallinen ongelmasivu jatkaa Navier–Stokes‑yhtälön eksistenssi‑ ja sileysongelman luettelointia ratkaisemattomana. OpenAI ei ollut julkaissut tällaista ilmoitusta uutissivullaan 8. syyskuuta 2026, ja Buckmaster toteaa, ettei ole nähnyt todistusta.

Julkaistut tulokset

Esijulkaisut vievät Diego Córdoba’n ja Luis Martínez‑Zoroan singulariteettiohjelman sileään pakotukseen kolmen malliyhtälön osalta. Eulerin artikkeli rakentaa rajallinen‑aikaisen singulariteetin epäkompressiolleen Euler‑yhtälöille kolmiulotteisessa avaruudessa pakotteella, joka pysyy sileänä sekä avaruudessa että ajassa siihen asti, että singulariteettiaika saavutetaan. Alkuperäinen nopeus on sileä, akselisymmetrinen, jossa on nollasta poikkeava pyöriminen ja nollainen meridiaalinen komponentti, ja se on rajoitettu kiinteään kiinteään torukseen; vorteksin ja kiertokierroksen gradientin normit lähestyvät ääretöntä lopullisessa ajassa, ja ratkaisu pysyy sileänä ja yksiselitteisenä määritellyssä äärellisen energian luokassa jokaisella aikaisemmalla suljetulla välillä. Artikkeli kuvaa rakennetta jatkoksi Córdoba–Martínez‑Zoroa -ohjelmalle, jossa singulariteetti muodostuu vuorovaikutteisten kerrosten kautta, jotka pienenevät asteittain.

Boussinesqin artikkeli todistaa rajallinen‑aikaisen singulariteetin viskositeetittomalle Boussinesqin järjestelmälle tasossa, jossa pakotus on sileä molemmissa yhtälöissä, aloituslämpötila on sileä, kompaktisti tukevainen ja alkunopeus nolla. Lämpötila pysyy rajoitettuna, kun sen gradientin normi lähestyy ääretöntä ja vorteksin normilla on ääretön limsup, ja molemmat pakotteet ovat sileitä jokaisessa sekamuunnoksessa suljetulla aikavälillä ja tukevat yhtä kiinteää palloa. IPM‑artikkeli, jonka on lisäksi yhteiskirjoittanut Matei P. Coiculescu, todistaa rajallinen‑aikaisen singulariteetin epäkompressiolleen huokosmedia‑yhtälölle kaksidimensionaalisella toruksella tasaisesti avaruus‑aikaisesti sileällä voimalla, laajentaen aikaisempaa Córdoba–Martínez‑Zoroa -tulosta, jonka pakotus oli sileä vain avaruudessa.

Kaikki kolme työtä on tarkistettu Lean‑todistusavustajalla, ja tekijät ovat julkaisseet formalisaatiot julkiseen tietovarastoon, jossa on erilliset Euler‑ ja Boussinesq‑singulariteettimoduulit. Lausunnossaan Buckmaster kirjoittaa, että hän ja Alpöge uskovat myös hypodissipatiivisen Navier–Stokes‑yhtälön singulariteettiin, mutta eivät julkaise sitä, koska Lean‑todistus ei ole valmis eikä esitettävää kirjoitusta ole vielä olemassa.

Suuret kielimallit todistuksissa

Tekijät paljastavat laajaa suurten kielimallien käyttöä koko projektissa. IPM‑artikkeli toteaa, että tekijät käyttivät Anthropicin Claude‑mallia tunnistaakseen keskeiset elementit aiemmasta Córdoba–Martínez‑Zoroa‑todistuksesta ja toistaakseen sen argumentin, ja käyttivät Claude‑ ja OpenAI:n Codex‑malleja kirjoittaakseen tekstin pääosan, delegoiden induktiivisten järjestysten ja vakioiden kirjanpidon malleille tekijöiden ohjauksessa; johdannon kirjoittivat luetellut tekijät. Boussinesqin AI‑lausunnossa kerrotaan, että pari sai ensimmäisen singulariteettiratkaisun 15. elokuuta 2026, ja Lean‑todisti sen 22. elokuuta 2026, ja että he iteratiivisesti hiovasivat kirjoituksia Claude‑ ja Codex‑malleilla, myöhemmin käyttäen malleja nimeltä 5.6 Sol ja Astra, joista jälkimmäistä käytettiin vain kirjoituksiin ja argumenttien tarkastukseen. Buckmasterin lausunnossa ensimmäinen LLM‑tuottama todistus, jonka Alpöge lähetti hänelle, oli “kauhein, mitä olen koskaan lukenut”, ja Boussinesqin AI‑lausunto kutsui ensimmäistä mallin tuottamaa kirjoitusta pahimmaksi, mitä tekijät ovat koskaan nähneet matematiikassa. Buckmaster kuvaa julkaistua Euler‑kirjoitusta lähempänä mallin tuottamaa, ihmisen ohjaamaa sisältöä kuin ihmisen kirjoittamaa artikkelia, pyytää anteeksi sen esitystapaa ja viittaa ulkoiseen paineeseen nopeutetun julkaisun takana.

Buckmaster kirjoittaa, että yhteistyö oli täysin henkilökohtaista, ilman institutionaalisia sopimuksia tai kummankaan työnantajan virallista osallistumista, ja että hän maksoi työkalut, mukaan lukien suuren OpenAI‑laskun, omista tutkimusvaroistaan. Hän antaa ansiot ohjelman perusideoista Córdoba‑lle ja Martínez‑Zoroalle, kirjoittaen, että pari on tutkinut pakotettuja singulariteettirakenteita useiden vuosien ajan ja että hänen mielestään Martínez‑Zoroa ansaitsee Fields‑mitalin.

Kiistatut yhteydenotot

Buckmasterin lausunnon jälkimmäinen osa on hänen kertomuksensa tapahtumista 3. syyskuuta 2026 alkaen, jolloin levinneen huhun mukaan Anthropic olisi ratkaissut merkittävän avoimen ongelman, hän lähetti sähköpostia OpenAI:n matemaatikolle selventääkseen, että työ oli henkilökohtainen yhteistyö ja julkaistaisiin pian. Hän kirjoittaa, että pyydettyään myöhempää tapaamista hänet pyydettiin tapaamaan 6. syyskuuta, ja että hän ja matemaatikko, johon liittyi OpenAI:n Sébastien Bubeck, keskustelivat kahdesti sinä iltapäivänä ilman Alpögeä paikalla.

Noilla puheluilla Buckmaster kertoo, että hänelle kerrottiin, että sisäinen OpenAI‑malli oli tuottanut todistuksen rajallinen‑aikaisesta singulariteetista pakotetuille Navier–Stokes‑yhtälöille, jotka ovat olemassa sekä kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa että kolmi‑toruksissa, ja pakotus on sileä Charles Feffermanin Clay‑ongelman virallisessa lausunnossa mainittujen kahden vaihtoehdon mukaisesti. Hän muistelee, että todistuksen pituus oli noin 100 sivua ja että “erittäin vähän ihmisen panosta” oli käytetty — kuvaus, jonka hän kokee purkautuneen puhelun aikana, kun kävi ilmi, että tiimi oli työskennellyt ongelman parissa, aloittanut mallin helpommilla ongelmilla kuten Euler, ja jopa kirjoittanut näytetyn kehotteen prompting‑Codexilla. Buckmaster kertoo, että lopulta sovittiin, että ensimmäinen kehotus oli lähetetty edeltävinä päivinä sen jälkeen, kun tieto parin työstä oli saavuttanut OpenAI:n. Kun hän kysyi, oliko malli koulutettu heidän Codex‑istuntoihinsa, joihin projektiin liittyvät kaikki luonnokset oli tallennettu, hänelle kerrottiin, että malli ei hae käyttäjädatan perusteella; koulutuskysymykseen hän kirjoittaa, “En saanut vastausta.”

Buckmaster kuvailee kahta ehdotusta, jotka hänelle esitettiin: että pari julkaisee Euler‑tuloksensa ja OpenAI julkaisee Navier–Stokes‑tuloksensa seuraavana päivänä, tai että Buckmaster itse kirjoittaa artikkelin, jossa esitetään Navier–Stokes‑tulos ja tunnustetaan, että sisäinen OpenAI‑malli on ratkaissut sen. Hän kirjoittaa, että Bubeck kahdesti väitti haluavansa poistaa Alpögen tekijänoikeuksista, viitaten Alpögen työsuhteeseen Anthropicissa, ja että sanottiin OpenAI:n julkaistessa parin jälkeen, he antaisivat heille tunnustuksen Clay‑palkinnosta ja nimittäisivät heidät “lähimmiksi ihmisiksi ongelmaan”. Buckmaster kertoo, että hän kieltäytyi molemmista tarjouksista ja sanoi menevänsä julkisuuteen, jos OpenAI julkaisee tuloksen ehdotetulla tavalla; hän muistelee vastausta: “Miksi haluaisit pilata urasi?” ja sen jälkeen, kun hän kysyi, miksi julkisuus pilaisi hänen uransa, hän sai vastauksen: “Jos et halua minun olevan ystävällinen, minun ei tarvitse olla ystävällinen.”

Buckmaster selventää, mitä hän ei väitä: hän ei ole nähnyt OpenAI:n todistusta, ei tiedä, mitä malli teki tai miten, eikä tiedä, onko parin dataa käytetty. “En syyttele ketään mistään”, hän kirjoittaa. “Kerron, mitä minulle kerrottiin, milloin, ja mitä minulle ehdotettiin.” Hän lisää, että jos OpenAI‑malli sulki Navier–Stokes‑ongelman kuilun, “se on merkittävä asia ja sen tulisi tulla ääneen, heidän puoleltaan, historian säilyttäen.”

Clay‑instituutin miljoonan dollarin Millennium‑palkinto kysyy Feffermanin muotoilun mukaan todistusta, jonka mukaan joko kolmiulotteisten Navier–Stokes‑yhtälöiden sileät ratkaisut ovat olemassa ikuisesti tai ne hajoavat rajallisessa ajassa; julkaistut esijulkaisut käsittelevät pakotettuja Euler‑, Boussinesq‑ ja IPM‑yhtälöitä, joista puuttuu se viskositeettitermi, joka erottaa Navier–Stokes‑yhtälöt.