Investigador de Microsoft y colaborador demuestran una conjetura de KLS de hace 31 años

Microsoft Research anunció el 21 de octubre de 2026 que Xinzhi Zhang, investigador sénior de su grupo de Aprendizaje Automático y Optimización, y su colaborador Zhao Song habían demostrado la conjetura de Kannan–Lovász–Simonovits, un problema de 31 años de antigüedad en geometría y probabilidad de alta dimensión, mediante un proceso de investigación con agentes de IA dirigido por personas.

La conjetura y la nueva cota

La demostración aparece en el artículo de 140 páginas Una cota O(1) para la constante de KLS, cuyos autores son Zhao Song y Xinzhi Zhang. El artículo se envió por primera vez a arXiv el 1 de octubre de 2026 y se revisó el 4 de octubre de 2026; Zhang figura como autor que lo envió. El resumen afirma que los autores demuestran que la constante de KLS ψ_n está acotada superiormente por una constante universal C, con lo que resuelven la conjetura, y que también demuestran una cota universal para la constante de Poincaré de toda medida de probabilidad isotrópica y log-cóncava.

En términos formales, la conjetura, propuesta en 1995, plantea si toda medida de probabilidad isotrópica y log-cóncava en un espacio n-dimensional tiene una constante de Cheeger acotada inferiormente por una constante positiva universal. En términos más sencillos, la publicación de Microsoft Research pregunta si, para una amplia clase de distribuciones de probabilidad de alta dimensión, el mejor corte plano o por un hiperplano siempre es casi tan eficaz como el mejor corte de cualquier forma, y si la diferencia entre ambos no supera una constante universal, independientemente del número de dimensiones. Como la geometría de estos cortes determina la rapidez con que los paseos aleatorios pueden explorar una distribución, la conjetura ocupa un lugar central en la teoría del muestreo de alta dimensión.

Antes de este trabajo, el mejor resultado conocido era el artículo de 21 páginas La constante de KLS es O(log^{1/4} n), de Brayden Letwin, enviado el 27 de julio de 2026. Demostraba que ψ_n es como máximo una constante multiplicada por log^{1/4} n; según señala la publicación de Microsoft Research, esta cota seguía creciendo lentamente a medida que aumentaba el número de dimensiones. El nuevo resultado se cumple con una cota fija que no varía según la dimensión.

La importancia de la conjetura ya se reconocía mucho antes de que se resolviera. La publicación señala que el informe anual 2017–18 del Mathematical Sciences Research Institute la calificó de problema abierto central en geometría convexa de alta dimensión; que el Simons Institute la describió como uno de los problemas abiertos más importantes de la geometría convexa; y que Ronen Eldan destacó sus amplias implicaciones en las actas del Congreso Internacional de Matemáticos de 2022.

Un proceso de investigación con agentes de IA dirigido por personas

Según la publicación, los autores empezaron por intentar mejorar el resultado de julio de 2026. Mediante un proceso estructurado y dirigido por personas, en el que participaron agentes de IA, exploraron más de 100 enfoques posibles, muchos de ellos basados en cálculos extensos con tensores de orden superior, y desarrollaron un nuevo criterio matemático que se convirtió en la base de la demostración final.

Los autores descubrieron después que el criterio podía aplicarse de forma recursiva: cada cota mejorada podía incorporarse al mismo argumento para obtener otra aún más ajustada. En la versión del artículo del 1 de octubre de 2026, esto redujo la dependencia de la dimensión al logaritmo iterado, que crece muy lentamente, pero sigue creciendo con la dimensión, por lo que todavía no resolvía la conjetura. El paso final consistió en repetir todo el refinamiento recursivo, en lugar de aplicarlo una sola vez; según la publicación, la idea se inspiró en trabajos anteriores de los autores sobre algoritmos rápidos de programación lineal. Los autores demostraron que los pequeños errores introducidos en cada etapa disminuyen con suficiente rapidez para que su suma siga acotada por una constante universal independiente de la dimensión, y así completaron la demostración en la versión del 4 de octubre de 2026.

La publicación afirma que el método recursivo, su aplicación repetida y el argumento que demuestra que el error total está acotado son aportaciones originales de los investigadores. Las herramientas de IA ayudaron a explorar enfoques posibles, desarrollar derivaciones detalladas, preparar el manuscrito y realizar comprobaciones internas de la demostración; los investigadores, por su parte, determinaron la dirección matemática, seleccionaron las ideas prometedoras, las integraron en el argumento final y verificaron la demostración. La publicación describe el método como una búsqueda con agentes y una selección iterativa asistida por personas: mientras varios agentes exploraban en paralelo distintas variantes de una idea, el investigador examinaba los resultados intermedios, descartaba las líneas de trabajo poco prometedoras y pasaba el resultado más prometedor a la siguiente ronda. Se exploraron aproximadamente cien líneas de investigación antes de que surgiera el avance decisivo.

En una línea de trabajo independiente dentro del proyecto, los autores hicieron varios intentos sin orientación de resolver el mismo problema con algunos de los principales modelos de IA, utilizando aproximadamente el mismo presupuesto total de tokens que el proceso principal. La publicación informa que esos esfuerzos no alcanzaron el objetivo. Según la publicación, el éxito final dependió tanto de las capacidades de los sistemas de IA como del criterio matemático de los investigadores. La publicación agradece a Song sus aportaciones al trabajo, y a Victor Reis e Ishai Menache sus conversaciones a lo largo del proyecto.

Demostraciones independientes y verificación automática

El 4 de octubre de 2026, el mismo día en que se publicó la demostración completa, Pierre Bizeul, Boaz Klartag y Joseph Lehec publicaron una demostración de 32 páginas desarrollada en paralelo, titulada Presentación de una demostración de la conjetura de Kannan-Lovász-Simonovits. El resumen del artículo afirma que «el paso crucial de la demostración es el criterio, muy reciente, de Song y Zhang, que involucra derivadas de alto orden de promedios inclinados», y los comentarios de arXiv señalan que el artículo incluye un párrafo que describe el uso de IA. El resumen sitúa KLS, junto con el problema de la sección de Bourgain y la conjetura de la varianza, entre los motores del desarrollo matemático de la geometría de altas dimensiones en las últimas décadas.

Krishnakumar Balasubramanian y Shiva Kasiviswanathan publicaron una demostración independiente, Una cota independiente de la dimensión para la constante de Poincaré de las medidas isotrópicas log-cóncavas, presentada por primera vez el 6 de octubre de 2026 y revisada el 8 de octubre de 2026. Su resumen describe una demostración variacional determinista con una cota explícita de 25 para la constante de Poincaré de cualquier medida de probabilidad isotrópica log-cóncava.

A continuación se presentó una formalización en Lean 4 llamada KLS500, que formaliza una constante de Poincaré independiente de la dimensión, de como máximo 500, para toda distribución de probabilidad isotrópica log-cóncava. Según el repositorio, el desarrollo se basa principalmente en el enfoque de cumulantes y suspensión de Bizeul, Klartag y Lehec, incorpora el criterio espectral de inclinación de Song y Zhang, y su verificación volvió a compilar 1.710 módulos matemáticos con un nivel de confianza cero en el kernel. La verificación en Lean también se superó para el enunciado exacto de la conjetura KLS definido por OpenAI, utilizando la constante de Poincaré universal 500. El proyecto está bajo la licencia Apache 2.0.

La publicación de Microsoft Research describe las demostraciones independientes como una de las formas más sólidas de validación en matemáticas, porque demuestran que un resultado no depende de una única cadena de razonamiento. Una vez resuelta la conjetura, señala la publicación, los resultados que antes se basaban en ella como supuesto ahora pueden formularse sin condiciones. Los autores han acortado su demostración y verificado en Lean el argumento simplificado, y la publicación indica que planean publicar ambos tras la revisión final.