ما هي الانحدار الخطي؟

ما هي الانحدار الخطي؟

الانحدار الخطي هو خوارزمية تستخدم للتنبؤ أو تجسيد العلاقة بين ميزتين/متغيرين مختلفين. في مهام الانحدار الخطي، هناك نوعان من المتغيرات قيد الفحص: المتغير التابع والمتغير المستقل. المتغير المستقل هو المتغير الذي يقف بمفرده، غير متأثر بالمتغير الآخر. عند تعديل المتغير المستقل، تتقلب مستويات المتغير التابع. المتغير التابع هو المتغير الذي يتم دراسته، وهو ما يحلله modèle الانحدار أو يحاول التنبؤ به.
في مهام الانحدار الخطي، كل ملاحظة/حالة تتكون من قيمة المتغير التابع وقيمة المتغير المستقل.

كان هذا شرحًا سريعًا للانحدار الخطي، ولكن دعونا نصل إلى فهم أفضل للانحدار الخطي من خلال النظر إلى مثال عليه وتحليل الصيغة التي يستخدمها.

فهم الانحدار الخطي

افترض أن لدينا مجموعة بيانات تغطي أحجام الأقراص الصلبة وتكلفة تلك الأقراص الصلبة.

دعونا نفترض أن مجموعة البيانات التي لدينا تتكون من ميزتين مختلفتين: كمية الذاكرة وتكلفة الشراء. كلما زادت كمية الذاكرة التي نشتريها للحاسوب، زادت تكلفة الشراء. إذا قمنا بترسيم النقاط الفردية على مخطط مبثر، قد نحصل على مخطط يبدو مثل هذا:

قد تختلف نسبة الذاكرة إلى التكلفة بين الشركات والطرازات المختلفة للأقراص الصلبة، ولكن بشكل عام، الاتجاه العام للبيانات هو الذي يبدأ في الزاوية اليسرى السفلى (حيث تكون الأقراص الصلبة أرخص وأقل سعة) وينتقل إلى الزاوية اليمنى العليا (حيث تكون الأقراص الصلبة أكثر تكلفة وأكبر سعة).

إذا كان لدينا كمية الذاكرة على المحور السيني وتكلفة على المحور الصادي، فإن الخط الذي ي.capture العلاقة بين المتغيرين السيني والصادي سوف يبدأ من الزاوية اليسرى السفلى وينتقل إلى الزاوية اليمنى العليا.

وظيفة modèle الانحدار هي تحديد دالة خطية بين المتغيرين السيني والصادي التي تصف أفضل العلاقة بينهما. في الانحدار الخطي، يفترض أن المتغير الصادي يمكن حسابه من بعض مزيج من المتغيرات الإدخال. يمكن تمثيل العلاقة بين المتغيرات الإدخال (السيني) والمتغيرات الهدف (الصادي) برسم خط عبر النقاط في المخطط. يمثل الخط الدالة التي تصف أفضل العلاقة بين السيني والصادي (على سبيل المثال، لكل مرة تزيد السيني بمقدار 3، يزيد الصادي بمقدار 2). الهدف هو العثور على خط انحدار مثالي، أو الخط/الدالة التي تناسب البيانات بشكل أفضل.

تمثل الخطوط عادة bằng المعادلة: الصادي = م * السيني + ب. السيني يشير إلى المتغير التابع بينما الصادي هو المتغير المستقل. في حين أن م هو منحدر الخط، كما هو محدد بواسطة “الارتفاع” على “الجري”. يمثل ممارسو التعلم الآلي معادلة منحدر الخط الشهيرة بشكل مختلف قليلا، باستخدام هذه المعادلة بدلاً من ذلك:

ص (س) = و0 + و1 * س

في المعادلة أعلاه، ص هو المتغير الهدف بينما “و” هي معاملات modèle. الإدخال هو “س”. لذا، تقرأ المعادلة على أنها: “الدالة التي تعطي الصادي، اعتماداً على السيني، تساوي معاملات modèle مضروبة بالإدخال”.

الانحدار الخطي المتعدد

صورة: Cbaf عبر Wikimedia Commons، النطاق العام (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:2d_multiple_linear_regression.gif)

العمليات الموصوفة أعلاه تنطبق على الانحدار الخطي البسيط، أو الانحدار على مجموعات بيانات حيث هناك متغير مستقل واحد فقط. ومع ذلك، يمكن إجراء الانحدار أيضًا مع متغيرات متعددة. في حالة “الانحدار الخطي المتعدد”، يتم تمديد المعادلة بواسطة عدد المتغيرات الموجودة في مجموعة البيانات. بعبارة أخرى، بينما تكون معادلة الانحدار الخطي العادي هي ص(س) = و0 + و1 * س، تكون معادلة الانحدار الخطي المتعدد هي ص(س) = و0 + و1س1 плюس الأوزان والإدخالات للعديد من الميزات. إذا تمثلنا العدد الإجمالي للأوزان والميزات بواسطة و(ن)س(ن)، يمكننا تمثيل الصيغة مثل هذا:

ص(س) = و0 + و1س1 + و2س2 + … + و(ن)س(ن)

بعد تحديد صيغة الانحدار الخطي، يستخدم modèle التعلم الآلي قيم مختلفة للأوزان، مما يؤدي إلى رسم خطوط تتناسب مع البيانات. تذكر أن الهدف هو العثور على الخط الذي يناسب البيانات بشكل أفضل لتحديد العلاقة بين المتغيرات.

تستخدم دالة التكلفة لقياس مدى قرب القيم الصادي المفترضة من القيم الصادي الفعلية عند إعطاء قيمة وزن معينة. دالة التكلفة للانحدار الخطي هي متوسط مربع الخطأ، والتي تأخذ ببساطة متوسط (مربع) الخطأ بين القيم المتوقعة والقيم الفعلية لجميع نقاط البيانات في مجموعة البيانات. تستخدم دالة التكلفة لحساب تكلفة، والتي تمثل الفرق بين القيمة الهدف المتوقعة والقيمة الهدف الفعلية. إذا كان خط التتناسب بعيدًا عن نقاط البيانات، تكون التكلفة أعلى، بينما تقل التكلفة كلما اقترب الخط من تمثيل العلاقات الحقيقية بين المتغيرات. يتم تعديل أوزان modèle حتى يتم العثور على تكوين الوزن الذي ينتج عنه أقل قدر من الخطأ.