Microsoft araştırmacısı ve çalışma arkadaşı, 31 yıllık KLS varsayımını kanıtladı

Microsoft Research, 21 Ekim 2026’da, Makine Öğrenimi ve Optimizasyon grubunda kıdemli araştırmacı olan Xinzhi Zhang ile çalışma arkadaşı Zhao Song’un, yüksek boyutlu geometri ve olasılık alanlarında 31 yıldır çözülemeyen Kannan–Lovász–Simonovits varsayımını insan yönlendirmeli, ajan tabanlı bir yapay zekâ araştırma süreciyle kanıtladığını duyurdu.

Varsayım ve Yeni Sınır

Kanıt, Zhao Song ve Xinzhi Zhang’ın imzasını taşıyan, ilk kez 1 Ekim 2026’da arXiv’e gönderilen ve 4 Ekim 2026’da gözden geçirilen 140 sayfalık KLS Sabiti için O(1) Sınırı başlıklı makalede yer alıyor; makaleyi gönderen yazar Zhang. Özette, yazarların KLS sabiti ψ_n’nin evrensel bir C sabitiyle yukarıdan sınırlandığını kanıtlayarak varsayımı çözüme kavuşturdukları ve ayrıca her izotropik log-konkav olasılık ölçüsünün Poincaré sabiti için evrensel bir üst sınır kanıtladıkları belirtiliyor.

Biçimsel olarak 1995’te ortaya atılan varsayım, n boyutlu uzaydaki her izotropik log-konkav olasılık ölçüsünün Cheeger sabitinin evrensel ve pozitif bir sabitle aşağıdan sınırlı olup olmadığını sorar. Microsoft Research’ün paylaşımında daha yalın bir dille ifade edildiği üzere, varsayım; yüksek boyutlu olasılık dağılımlarından geniş bir sınıf için en iyi düz kesitin ya da hiper düzlem kesitinin, hangi biçimde olursa olsun en iyi kesit kadar etkili olup olmadığını, aralarındaki farkın boyut sayısından bağımsız evrensel bir sabiti aşmamasını sorgular. Bu kesitlerin geometrisi, rassal yürüyüşlerin bir dağılımı ne kadar hızlı tarayabileceğini belirlediğinden, varsayım yüksek boyutlu örnekleme kuramında merkezi bir rol oynar.

Bu çalışmadan önce bilinen en iyi sonuç, Brayden Letwin’in 27 Temmuz 2026’da sunduğu 21 sayfalık KLS sabiti O(log^{1/4} n) düzeyindedir başlıklı makaleydi. Makalede ψ_n’nin log^{1/4} n’nin bir sabit katından büyük olmadığı ortaya konmuştu. Microsoft Research’ün paylaşımında belirtildiği üzere, bu sınır boyut sayısı arttıkça yavaş da olsa büyümeye devam ediyordu. Yeni çalışma ise boyuta göre değişmeyen sabit bir sınır sağlıyor.

Varsayımın önemi, çözüme kavuşturulmasından çok önce kabul görmüştü. Paylaşımda, Mathematical Sciences Research Institute’un 2017–18 yıllık raporunun KLS’yi yüksek boyutlu dışbükey geometride merkezi bir açık problem olarak nitelendirdiği, Simons Institute’un onu dışbükey geometrideki en önemli açık problemlerden biri olarak tanımladığı ve Ronen Eldan’ın 2022 Uluslararası Matematikçiler Kongresi Bildirileri’nde geniş kapsamlı sonuçlarına dikkat çektiği belirtiliyor.

İnsan Yönlendirmeli Ajan Tabanlı Araştırma Süreci

Paylaşıma göre yazarlar, Temmuz 2026’daki sonucu geliştirmek için çalışmaya başladı. Yapay zekâ ajanlarıyla yürütülen, yapılandırılmış ve insanlar tarafından yönlendirilen bir süreçte 100’den fazla olası yaklaşımı araştırdılar. Bunların çoğu, yüksek mertebeden tensörlerle yapılan uzun hesaplamalar içeriyordu. Bu çalışmalar sonucunda, nihai kanıtın temelini oluşturan yeni bir matematiksel ölçüt geliştirdiler.

Yazarlar daha sonra bu ölçütün yinelemeli biçimde uygulanabileceğini ve her iyileştirilmiş sınırın aynı argümana yeniden dahil edilerek daha da sıkı bir sınır elde edilebileceğini keşfetti. Makalenin 1 Ekim 2026 tarihli sürümünde bu yöntem, boyuta bağımlılığı yinelemeli logaritmaya indirdi. Bu değer son derece yavaş büyüse de boyutla birlikte artmaya devam ettiğinden varsayımı henüz çözmüyordu. Paylaşıma göre son adım, yinelemeli iyileştirmeyi yalnızca bir kez uygulamak yerine tüm süreci tekrarlamaktı. Bu fikir, yazarların doğrusal programlama için hızlı algoritmalar üzerine daha önce yaptıkları çalışmalardan esinlenmişti. Yazarlar, her aşamada ortaya çıkan küçük hataların toplamının boyuttan bağımsız evrensel bir sabitle sınırlı kalacak kadar hızlı küçüldüğünü kanıtladı ve böylece kanıtı makalenin 4 Ekim 2026 tarihli sürümünde tamamladı.

Paylaşımda, yinelemeli yöntemin, bu yöntemin tekrar tekrar uygulanmasının ve hataların sınırlı kaldığını gösteren argümanın araştırmacıların özgün katkıları olduğu belirtiliyor. Yapay zekâ araçları olası yaklaşımları araştırmaya, ayrıntılı türetmeler yapmaya, makaleyi hazırlamaya ve kanıtı kurum içinde denetlemeye yardımcı olurken matematiksel yönü belirleyen, umut vadeden fikirleri seçen, bunları nihai argümanda bir araya getiren ve kanıtı doğrulayan araştırmacılardı. Paylaşım, yöntemi yinelemeli ve insan desteğiyle yürütülen bir arama süreci olarak tanımlıyor: Birden fazla ajan bir fikrin farklı varyasyonlarını paralel biçimde araştırırken araştırmacı ara sonuçları inceliyor, umut vadetmeyen yönleri eliyor ve en umut vadeden sonucu bir sonraki tura taşıyordu. Kilit atılım ortaya çıkmadan önce yaklaşık yüz araştırma rotası incelendi.

Projenin ayrı bir kolunda yazarlar, aynı problemi çözmek için önde gelen birkaç yapay zekâ modeliyle, ana süreçle yaklaşık aynı toplam belirteç bütçesini kullanarak tekrar tekrar yönlendirmesiz denemelerde bulundu. Paylaşımda, bu çabanın hedefe ulaşamadığı aktarılıyor. Paylaşıma göre nihai başarı, hem yapay zekâ sistemlerinin yeteneklerine hem de araştırmacıların matematiksel değerlendirme gücüne bağlıydı. Paylaşımda Song’a çalışmaya katkılarından, Victor Reis ve Ishai Menache’ye ise proje boyunca yapılan görüşmelerden dolayı teşekkür ediliyor.

Bağımsız Kanıtlar ve Makineyle Doğrulama

4 Ekim 2026’da, tam kanıtın yayımlandığı gün, Pierre Bizeul, Boaz Klartag ve Joseph Lehec paralel olarak geliştirdikleri 32 sayfalık bir kanıtı yayımladı. Kanıtın başlığı Kannan-Lovász-Simonovits sanısının bir kanıtını sunmak idi. Makalenin özeti, “kanıttaki kilit adımın, Song ve Zhang’ın tilt ortalamalarının yüksek mertebeden türevlerini içeren çok yakın tarihli ölçütü” olduğunu belirtiyor. arXiv yorumlarında ise makalede yapay zekâ kullanımını açıklayan bir paragraf bulunduğu kaydediliyor. Özette, KLS’nin, son yıllarda yüksek boyutlu geometrideki matematiksel gelişmeleri yönlendiren etkenler arasında Bourgain’in dilimleme problemi ve varyans sanısıyla birlikte yer aldığı ifade ediliyor.

Krishnakumar Balasubramanian ve Shiva Kasiviswanathan, İzotropik Log-Konkav Ölçülerin Poincaré Sabiti İçin Boyuttan Bağımsız Bir Sınır başlıklı ayrı bir kanıt yayımladı. İlk olarak 6 Ekim 2026’da sunulan çalışma, 8 Ekim 2026’da gözden geçirilmiş bir sürümle güncellendi. Özette, her izotropik log-konkav olasılık ölçüsünün Poincaré sabiti için açıkça 25 değeriyle verilen bir sınır sunan deterministik bir varyasyonel kanıt anlatılıyor.

Ardından KLS500 adlı bir Lean 4 biçimselleştirmesi yayımlandı. Bu biçimselleştirme, her izotropik log-konkav olasılık dağılımı için boyuttan bağımsız Poincaré sabitinin en fazla 500 olduğunu biçimselleştiriyor. Depodaki bilgilere göre geliştirme, ağırlıklı olarak Bizeul, Klartag ve Lehec’in kümülant ve süspansiyon yaklaşımını temel alıyor; Song ve Zhang’ın tilt-spektral ölçütünü de içeriyor. Doğrulama sırasında, çekirdek güven düzeyinde 0 koşuluyla 1.710 matematiksel modül yeniden oluşturuldu. Lean doğrulaması, OpenAI tarafından tanımlanan KLS sanısının tam ifadesi için de evrensel Poincaré sabiti 500 kullanılarak başarıyla tamamlandı. Proje Apache 2.0 lisansına sahip.

Microsoft Research paylaşımında, bağımsız kanıtların matematiğin en güçlü doğrulama biçimleri arasında olduğu belirtiliyor; çünkü bu kanıtlar, bir sonucun tek bir akıl yürütme zincirine dayanmadığını gösteriyor. Paylaşımda, sanının çözüme kavuşmasıyla, daha önce onu bir varsayım olarak kabul eden sonuçların artık koşulsuz biçimde ifade edilebileceği de belirtiliyor. Yazarlar kanıtlarını kısalttı ve yalınlaştırılmış akıl yürütmeyi Lean’de doğruladı. Paylaşımda, son incelemenin ardından her ikisini de yayımlamayı planladıkları bildiriliyor.