Yapay Zeka Açık Matematik Problemlerini Çözdüğünde, Dahilere Ne Kalır?

Matematik uzun zamandır zekanın en saf ölçüsü olarak kabul edilmiştir. Çoğu bilimin aksine, laboratuvar ekipmanına, deneysel gürültüye veya ölçüm araçlarına bağlı değildir. Bir ispat ya doğrudur ya da değildir. Bu açıklık, büyük çözülmemiş problemlerin -bilinen her tekniğe direnen varsayımların- bir tür entelektüel Everest Dağı haline gelmesinin nedenidir.

Tarih genellikle aynı hikâyeyi anlatır: Bir soru, nadir bir zekâya sahip biri ortaya çıkana kadar, yani sabır, yaratıcılık ve teknik gücün alışılmadık bir karışımına sahip biri, kimsenin görmediği bir yolu görene kadar, on yıllarca veya yüzyıllarca havada asılı kalır. "Yalnız dahi"yi kutlarız çünkü matematikte bu anlatı genellikle geçerlidir.

Ancak yeni bir örüntü ortaya çıkmaya başlıyor. 2025 sonlarında ve 2026 başlarında, Erdős problemleri (iyi bilinen ve Erdős tarafından derlenmiş bir dizi açık problem) etrafındaki çevrimiçi tartışmalar... Paul ErdősYapay zekâ destekli ispatların, alışılmadık derecede kısa sürede birden fazla sorunu çözmüş olabileceğini öne sürdü. Bu ispat taslaklarından bazılarının, aralarında önde gelen matematikçilerin de bulunduğu kişiler tarafından incelendiği bildirildi. Terence taoYapay zekanın matematiksel işbirlikçi olarak artan rolü hakkında kamuoyuna açıklamalarda bulunan bir isim. Yine de en önemli uyarı geçerliliğini koruyor: Matematik manşetlerle ilerlemez. Geniş kabul genellikle zaman gerektirir; bağımsız doğrulama, dikkatli yazılar ve bazen de ispat kontrol sistemlerinde resmileştirme.

Bu ihtiyatlı yaklaşıma rağmen, daha geniş anlamda şu nokta geçerliliğini koruyor: Dünya, yapay zekanın sadece hesaplama, özetleme veya örüntü eşleştirme yapmakla kalmayıp, akıl yürütme eylemine de katılması durumunda neler olduğunu ilk kez gerçek anlamda görüyor. Yapay zeka, insanların nesillerdir mücadele ettiği sorunları güvenilir bir şekilde çözmeye yardımcı olabiliyorsa, bu daha derin bir soruyu gündeme getiriyor:
Makine zirveye ilk ulaştığında insan dehası bundan sonra ne yapacak?

“Silikon Akıl Yürütmesinin” Mekaniği

Bu anın neden farklı hissettirdiğini anlamak için, insanların sıklıkla birbirine karıştırdığı iki yapay zeka versiyonunu birbirinden ayırmak faydalı olacaktır.

Dil modellerinin önceki nesilleri genellikle (haklı olarak) bir sonraki olası kelimeyi tahmin eden sistemler olarak tanımlanıyordu. Etkileyici görünebiliyorlardı, ancak yavaşlama, fikirleri test etme veya kendini düzeltme yetenekleri sınırlı olduğu için "kendinden emin saçmalıklara" da eğilimliydiler.

Yeni sistemler giderek farklı bir yaklaşıma güveniyor: test zamanı akıl yürütme (bazen "test zamanı hesaplama" olarak da adlandırılır). Model, anında bir cevap üretmek yerine, tek bir problem üzerinde daha fazla zaman geçirebilir; aday yaklaşımlar üretebilir, adımların mantıksal olarak takip edip etmediğini kontrol edebilir, çelişkilerle karşılaştığında geri dönebilir ve alternatif yolları araştırabilir. İnsan terimleriyle, bir matematikçinin beyaz tahtada yaptığına benzer: bir şey dene, boz, düzelt ve tekrarla.

Bu durum matematikte önemlidir çünkü ilerleme nadiren düz bir çizgi halinde gerçekleşir. Umut vadeden fikirlerin çoğu başarısız olur. Ego, yorgunluk veya cesaret kırıklığı olmadan geri adım atabilme yeteneği, imkansız bir arayışı yönetilebilir bir arayışa dönüştürebilir.

Modern yapay zeka sistemleri, salt hesaplamanın ötesine geçerek, onları hesap makinelerinden ziyade işbirlikçilere benzeten dört pratik yetenek sunuyor. Geniş ölçekli sentezde mükemmel performans göstererek, geniş literatür ve nadiren alıntılanan temel önermelerin bulunduğu niş alt alanlardaki fikirleri birbirine bağlıyorlar. Ayrıca hızlı yinelemeyi mümkün kılarak, birçok ispat "yolunu" hızla test ediyor ve umut vadeden alt yapıları korurken çıkmaz sokakları eliyorlar. Dahası, bu makineler bazen alışılmadık sezgisel yöntemler öneriyorlar; insan sezgisine yabancı gelen ancak mantıksal olarak sağlam kalan ara yapılar sunuyorlar. Son olarak, Lean veya Coq gibi resmi ispat yardımcılarına dönüştürülebilen, doğrulamaya uygun çıktılar üreterek, topluluğa daha yüksek güvene giden bir yol sunuyorlar.

Önemli olan, bunun yapay zekanın matematiği insanlar gibi "anladığı" anlamına gelmemesidir. Daha spesifik bir anlama gelir: doğru kısıtlamalar altında, incelemeye dayanabilen akıl yürütme zincirleri üretebilir. Matematikte önemli olan da budur.

Erdős Tarzı Problemlerin Erken Hedef Olarak Seçilmesinin Neden Mantıklı Olduğu

Matematik alanındaki tüm sınır bölgeleri yapay zekâ ivmesine eşit derecede "hassas" değildir. Bazı problemler tamamen yeni teori, yeni tanımlar veya mevcut literatürde pek fazla dayanağı olmayan derin kavramsal sıçramalar gerektirir. Ancak diğer problemler—özellikle kombinatorik, sayı teorisi ve ayrık matematik alanlarındaki problemler—genellikle farklı bir yapıya sahiptir:

• Bu ifade, uzman olmayan kişiler için de kolayca açıklanabilir.
• Bilinen araçlar çok sayıda, çeşitli yayınlarda dağınık halde bulunuyor ve gözden kaçması kolay.
• İlerleme genellikle mevcut sonuçların akıllıca bir şekilde birleştirilmesinden kaynaklanır.

Erdős problemleri sıklıkla bu profile uyar. Kolay ifade edilebilir ancak zor çözülebilir olmalarıyla ünlüdürler ve ispatların olasılık yöntemleri, uç kombinatorik, ergodik teori, harmonik analiz ve daha fazlası gibi çeşitli teknikleri içerebileceği alanlarda yer alırlar.

Bu da onları yapay zekâ için bir "basınç testi" olarak kullanışlı hale getiriyor. Bir sistem, geniş çaplı insan çabasına direnen bir sorun için güvenilir bir ispat stratejisi önerebiliyorsa, bu anlamlıdır; hatta (bazen olduğu gibi) temel fikrin daha önceki çalışmalarda zaten örtük olarak mevcut olduğu veya ispatın kanonik hale gelmeden önce cilalanması gerektiği ortaya çıksa bile.

Başka bir deyişle: hikaye "Yapay zeka matematikçilerin yerini alıyor" değil. Hikaye, yapay zekanın "sonuç bir yerde mevcut" ile "topluluk bunu gerçekten görebiliyor" arasındaki mesafeyi kısaltabileceği yönünde.

Yapay Zeka İnsanların Unuttuklarını Yeniden Keşfettiğinde

Modern bilimdeki en ilginç örüntülerden biri, insanların bilgi eksikliğinden değil, bilgi edinmekte zorlanmalarından kaynaklanmaktadır. geri almak bilgi.

Matematik çok geniş bir alandır. Sonuçlar, onlarca yıllık dergilerde, atölye notlarında ve kendine özgü dilleri ve kuralları olan uzmanlaşmış alt alanlarda dağınık halde bulunur. Mükemmel matematikçiler bile, belirli bir alanda "açık" olan bir teoremi gözden kaçırabilir. Zamanla, tüm akıl yürütme zincirleri, yanlış oldukları için değil, dikkat başka yere kaydığı için unutulabilir.

Yapay zekâ, insanların moda alanlara yönelmesi nedeniyle nadiren baktığı sıkıcı köşeleri aramaya istekli olarak bu dinamiği değiştiriyor. Ayrıca, farklı alt alanların dilleri arasında çeviri yaparak ve insanların geleneksel olarak ayrı tuttuğu fikirleri bir araya getirerek lehçeler arasında köprü görevi görüyor.

İşte birçok insanın en büyük potansiyeli gördüğü yer burası. Yapay zeka sıfırdan yepyeni matematiksel kavramlar icat etmese bile, unutulmuş yapıları yeniden gün yüzüne çıkarıp, yeniymiş gibi hissettiren şekillerde yeniden birleştirerek son derece güçlü bir "bilgi kazıcısı" gibi işlev görebilir.

“Büyük Matematik” Dönüşümü: Kanıt Yazarlığından Orkestra Şefliğine

Yapay zekâ gelişmeye devam ederse, en büyük değişiklik makinelerin daha fazla teorem çözmesi olmayabilir. Belki de insan matematikçinin rolü değişecektir.

Yüzyıllar boyunca matematik yapmak, ispatın kendisine muazzam bir çaba harcamak anlamına geliyordu: bir yol bulmak, her adımı doğrulamak ve diğer uzmanların kontrol edebileceği şekilde yazmak. Bu emek, mesleğin bir parçasıdır. Ancak aynı zamanda bir darboğazdır. Birçok umut vadeden fikir, tam olarak uygulanması ve resmileştirilmesi için gereken insan zamanının çok yüksek olması nedeniyle yok olur.

Yapay zekânın hızlandırdığı bir dünyada, kanıt bulmak daha kolay hale geliyor. Bu, matematiği önemsiz kılmıyor. Sadece zorlu çalışmanın nerede yapıldığını değiştiriyor.

Matematikçi Hesap Makinesi Değil, Haritacıdır

İspat artık ana darboğaz değilse, "dahilik" daha üst düzey görevlere kayar. Çözülmesi gereken en değerli soruları seçmek, değişmezler ve alanlar arası köprü kuran tanımlar gibi yeni soyutlamalar tasarlamak gibi temel bir insan sorumluluğu haline gelir. Dahası, büyük zihinler, varsayımların haritasını çıkararak ve keşifleri düzenleyerek araştırma programları oluşturmaya odaklanırken, soyut sonuçları diğer alanlar için işlevsel araçlara dönüştürmeye de çalışırlar.

Kaydırmak için kaydırın →

Bunu, bilgisayarların satrançtaki değişimine benzetin. İnsan satrancı, motorlar bizi geride bıraktığında sona ermedi. Bunun yerine, elit oyun evrim geçirdi. İnsanlar makineye daha iyi sorular sormayı, önerilerini yorumlamayı ve sezgiyi hesaplamayla harmanlayan stratejiler geliştirmeyi öğrendiler.

Matematik de benzer bir dönüşüm geçirebilir; ancak söz konusu olan daha geniş kapsamlıdır. Yeni matematiksel araçlar kriptografi, optimizasyon, makine öğrenimi, fizik ve ekonomi alanlarını yeniden şekillendirebilir. Yapay zeka keşif maliyetini düşürürse, bunun sonuçları muazzam olabilir.

Bu "özgür düşünce" mi, yoksa sadece son derece hızlı bir arama mı?

Makul bir şüpheci şöyle diyebilir: Bu zeka değil, sadece kaba kuvvet. Bir makineye yeterli işlem gücü verin, işe yarayan bir şeye mutlaka ulaşacaktır.

Burada gerçekten önemli bir nokta var. Yapay zeka ölçeklenebilirlik sağlıyor. Birçok farklı yolu deneyebilir. Ancak en ilginç durumlar rastgele tökezlemeler değil, yapılandırılmış sentez içeriyor: kavramları birbirine bağlamak, önermeleri alışılmadık bağlamlarda yeniden kullanmak ve uzmanların doğrulayabileceği kadar tutarlı bir akıl yürütme zinciri oluşturmak.

Pratikte, "arama" ve "düşünme" arasındaki çizgi bulanıklaşır. İnsan matematikçiler de fikirler aracılığıyla, analojiler aracılığıyla, kısmi sonuçlar aracılığıyla arama yaparlar. Önemli olan, sürecin güvenilir bir şekilde yeni, doğrulanabilir gerçekler üretip üretmediğidir.

Eğer yapay zeka bunu sürekli olarak yapabilir hale gelirse, etiket sonuçtan daha az önem taşır. Sınır her iki yönde de kayar.

Sırada Hangi Sınırlar Düşebilir?

Yapay zekâ gelişmeye devam ederse, şu örüntüyü beklemeliyiz: İlk çözülecek sorunlar genellikle bilginin zaten mevcut ancak parçalı olduğu, mevcut tekniklerin yeniden birleştirilebildiği ve biçimsel doğrulamanın güveni hızla artırabildiği sorunlar olacaktır.

Yakın vadede muhtemel hedefler şunlardır:

• Ekstremal kombinatorik ve grafik teorisi: Zengin araç setleri, birçok bilinen lemma ve temiz, ayrıntılı terimlerle tanımlanmış çok sayıda problem.
• Toplamsal sayı teorisi: Farklı teknikleri bir araya getiren ispatlar ve alanları birbirine bağlayan "köprü" argümanları için verimli bir zemin.
• Optimizasyon ve karmaşıklıkla ilgili sorular: Öncelikle en derin "P vs NP" seviyesinden değil, algoritmalar ve sınırlar etrafında birçok daha küçük yapısal sonuçtan bahsediliyor.
• Biçimlendirilebilir alt alanlar: Yapay zekanın fikir aşamasından doğrulanmış teoreme geçişi hızlandırabileceği, halihazırda kısmen ispat yardımcılarına kodlanmış alanlar.

Milenyum Ödülü problemleri gibi büyük ve ünlü problemler, hâlâ derin kavramsal buluşlar gerektirebilir. Ancak burada bile yapay zeka, çevredeki alanı yavaş yavaş geliştirebilir: önermeleri kanıtlayabilir, özel durumları araştırabilir ve nihai insan (veya hibrit) sıçramasını daha olası kılan bir iskele kurabilir.

Felsefi Dönüm Noktası: Soru Soranların Dönüşü

İspatın mekaniğini otomatikleştirdikçe, disiplinin başlangıcından beri var olan bir gerçekle yüzleşmek zorunda kalıyoruz: matematik, her zaman felsefenin bir alt kümesi olmuştur. Tarihsel olarak, türümüzün en değerli zekâları, hayatın en anlamlı sorularıyla boğuşabilenlerdi. Yunanlılar, sayıların incelenmesini varoluşun incelenmesinden ayırmadılar; onlar için bir sayının "akıl dışılığı", mantık krizi kadar ruh kriziydi de.

Modern çağda, insan "dehası"na verdiğimiz değeri, üç yüz sayfalık yoğun, elle yapılan bir ispatın üstesinden gelebilen, usta hesap makinesine doğru kaydırdık. Zekayı, biyolojik bir işlemci gibi işlev görme yeteneğiyle eşdeğer tuttuk. Ancak yapay zeka bu ispatların zirvesine ilk ulaşmaya başladıkça, bu teknik darboğaz ortadan kalkıyor. Bu, insan zekasını azaltmıyor; onu "yukarı doğru" hareket etmeye zorluyor.

Geleceğin değerli zekâları, bilinen bir süreci son derece verimli bir şekilde uygulayabilenler değil, öncelikle neyin keşfedilmeye değer olduğunu tanımlayabilen filozoflar olacaktır. "Nasıl" silikon tarafından sağlanan bir meta haline geldiğinde, geriye kalan tek kıtlık "neden" olur. Hayat değiştiren bir soru sorma yeteneğinin -anlamın yeni bir sınırını tasavvur etmenin- en üstün beceri olduğu çok yönlü bilginler çağına geri dönüyoruz. Kürekten kazıcıya geçiş gibi, artık ellerimizle kazma yeteneğimizle değil, toprağı nerede kazacağımıza karar verme vizyonumuzla değer görüyoruz.

Sonuç: Dahiliğin Daha Üst Seviyeye Çıktığı Bir Gelecek

Yapay zekâ, bir zamanlar yüzyılda bir görülen zekâ gerektiren sorunların çözümüne yardımcı olabiliyorsa, bu matematiğin tükendiği anlamına gelmez. Bu, matematiği nasıl yaptığımızı değiştirmemiz gerektiği anlamına gelir.

İspatların ucuzladığı bir dünyada, kıt kaynak başka bir şeye dönüşüyor: iyi sorular, faydalı soyutlamalar ve matematiğin ne anlama geldiğini yorumlama yeteneği.

Geleceğin "benzersiz zekası", on yıllarca bir ispat üzerinde çalışan yalnız bir figürden ziyade, fikirlerin haritasını çıkaran birine benzeyebilir; hangi dağlara tırmanmaya değer olduğunu görebilen ve insanların ve makinelerin birlikte tırmandığı yeni bir tür keşif gezisini nasıl koordine edeceğini bilen birine.