Un chercheur de Microsoft et son collaborateur démontrent une conjecture vieille de 31 ans

Microsoft Research a annoncé le 21 octobre 2026 que Xinzhi Zhang, chercheur principal au sein de son groupe d’apprentissage automatique et d’optimisation, et son collaborateur Zhao Song ont démontré la conjecture de Kannan–Lovász–Simonovits, un problème vieux de 31 ans en géométrie et en probabilités de grande dimension, à l’aide d’un processus de recherche par IA agentique dirigé par des humains.

La conjecture et la nouvelle borne

La démonstration figure dans l’article de 140 pages Une borne O(1) pour la constante KLS, attribué à Zhao Song et Xinzhi Zhang, soumis pour la première fois à arXiv le 1er octobre 2026 et révisé le 4 octobre 2026, Zhang étant l’auteur ayant effectué la soumission. Le résumé indique que les auteurs démontrent que la constante KLS ψ_n est majorée par une constante universelle C, ce qui résout la conjecture, et qu’ils établissent également une borne universelle pour la constante de Poincaré de toute mesure de probabilité isotrope à densité log-concave.

Formellement, la conjecture, proposée en 1995, demande si toute mesure de probabilité isotrope à densité log-concave dans un espace de dimension n possède une constante de Cheeger minorée par une constante positive universelle. Pour reprendre les termes plus simples de l’article de Microsoft Research, elle demande si, pour une vaste classe de distributions de probabilité de grande dimension, la meilleure coupe plate ou par hyperplan est toujours presque aussi efficace que la meilleure coupe, quelle qu’en soit la forme, l’écart entre les deux ne dépassant pas une constante universelle, quel que soit le nombre de dimensions. Comme la géométrie de ces coupes détermine la vitesse à laquelle les marches aléatoires peuvent explorer une distribution, la conjecture occupe une place centrale dans la théorie de l’échantillonnage en grande dimension.

Avant ces travaux, le meilleur résultat connu était l’article de 21 pages La constante KLS est O(log^{1/4} n) de Brayden Letwin, soumis le 27 juillet 2026. Il établissait que ψ_n est au plus égale à une constante multipliée par log^{1/4} n, une borne qui, comme le souligne l’article de Microsoft Research, augmentait encore lentement avec le nombre de dimensions. Les nouveaux travaux établissent une borne fixe, indépendante de la dimension.

L’importance de la conjecture était reconnue bien avant sa résolution. L’article indique que le rapport annuel 2017–2018 du Mathematical Sciences Research Institute qualifiait KLS de problème ouvert central en géométrie convexe de grande dimension, que le Simons Institute la décrivait comme l’un des problèmes ouverts les plus importants en géométrie convexe et que Ronen Eldan en soulignait les vastes implications dans les actes du Congrès international des mathématiciens de 2022.

Un processus de recherche agentique dirigé par des humains

D’après l’article, les auteurs ont commencé par chercher à améliorer le résultat de juillet 2026. Dans le cadre d’un processus structuré, dirigé par des humains et faisant appel à des agents d’IA, ils ont exploré plus de 100 pistes possibles, dont beaucoup impliquaient de longs calculs avec des tenseurs d’ordre supérieur, et ont élaboré un nouveau critère mathématique qui est devenu le fondement de la démonstration finale.

Les auteurs ont ensuite découvert que le critère pouvait être appliqué de manière récursive, chaque borne améliorée étant réinjectée dans le même raisonnement pour en obtenir une encore plus serrée. Dans la version de l’article du 1er octobre 2026, cette démarche ramenait la dépendance à la dimension au logarithme itéré, qui croît extrêmement lentement, mais continue néanmoins d’augmenter avec la dimension et ne permettait donc pas encore de résoudre la conjecture. La dernière étape a consisté à répéter l’ensemble du raffinement récursif plutôt qu’à ne l’appliquer qu’une seule fois, une idée qui, selon l’article, s’inspirait des travaux antérieurs des auteurs sur les algorithmes rapides de programmation linéaire. Les auteurs ont démontré que les petites erreurs introduites à chaque étape diminuent suffisamment vite pour que leur somme reste bornée par une constante universelle indépendante de la dimension, achevant ainsi la démonstration dans la version du 4 octobre 2026.

L’article précise que la méthode récursive, ses applications répétées et l’argument montrant que les erreurs restent bornées constituent les contributions originales des chercheurs. Les outils d’IA ont contribué à explorer des pistes possibles, à effectuer des calculs détaillés, à préparer le manuscrit et à vérifier la démonstration en interne ; les chercheurs, quant à eux, ont défini l’orientation mathématique, sélectionné les idées prometteuses, les ont réunies dans le raisonnement final et ont vérifié la démonstration. L’article décrit la méthode comme une recherche agentique assortie d’un élagage itératif avec l’aide de chercheurs : tandis que plusieurs agents exploraient en parallèle différentes variantes d’une idée, le chercheur examinait les résultats intermédiaires, écartait les pistes peu prometteuses et transmettait le résultat le plus prometteur à l’étape suivante. Environ une centaine de trajectoires de recherche ont été explorées avant l’émergence de la percée décisive.

Dans un volet distinct du projet, les auteurs ont tenté à plusieurs reprises, sans orientation, de résoudre le même problème à l’aide de plusieurs des principaux modèles d’IA, en utilisant un budget total de jetons à peu près équivalent à celui du processus principal ; l’article indique que ces efforts n’ont pas permis d’atteindre l’objectif. Selon l’article, la réussite finale reposait à la fois sur les capacités des systèmes d’IA et sur le jugement mathématique des chercheurs. L’article remercie Song pour ses contributions aux travaux, ainsi que Victor Reis et Ishai Menache pour leurs échanges tout au long du projet.

Démonstrations indépendantes et vérification par machine

Le 4 octobre 2026, le jour même où la preuve complète a été publiée, Pierre Bizeul, Boaz Klartag et Joseph Lehec ont publié une preuve de 32 pages élaborée en parallèle, intitulée « Présentation d’une preuve de la conjecture de Kannan-Lovász-Simonovits ». Le résumé de l’article indique que « l’étape cruciale de la preuve est le critère très récent de Song et Zhang, qui fait intervenir les dérivées d’ordre élevé des moyennes inclinées », et les commentaires sur arXiv précisent que l’article contient un paragraphe décrivant le recours à l’IA. Le résumé présente la conjecture KLS, aux côtés du problème de la section de Bourgain et de la conjecture de la variance, comme l’un des moteurs des avancées mathématiques en géométrie de grande dimension au cours des dernières décennies.

Krishnakumar Balasubramanian et Shiva Kasiviswanathan ont publié une preuve distincte, intitulée Une borne indépendante de la dimension pour la constante de Poincaré des mesures isotropes log-concaves, soumise pour la première fois le 6 octobre 2026, puis révisée le 8 octobre 2026. Son résumé décrit une preuve variationnelle déterministe assortie d’une borne explicite de 25 pour la constante de Poincaré de toute mesure de probabilité isotrope log-concave.

Une formalisation en Lean 4, nommée KLS500, a suivi. Elle formalise une constante de Poincaré indépendante de la dimension, inférieure ou égale à 500, pour toute loi de probabilité isotrope log-concave. Selon le dépôt, ce développement s’appuie principalement sur l’approche des cumulants et de la suspension de Bizeul, Klartag et Lehec, en intégrant le critère spectral d’inclinaison de Song et Zhang ; sa vérification a reconstruit 1 710 modules mathématiques avec un niveau de confiance du noyau égal à zéro. La vérification Lean a également réussi pour l’énoncé exact de la conjecture KLS défini par OpenAI, en utilisant la constante de Poincaré universelle de 500. Le projet est sous licence Apache 2.0.

L’article de Microsoft Research présente les preuves indépendantes comme l’une des formes de validation les plus solides en mathématiques, car elles démontrent qu’un résultat ne repose pas sur une seule chaîne de raisonnement. La conjecture étant résolue, indique l’article, les résultats qui en dépendaient auparavant à titre d’hypothèse peuvent désormais être énoncés sans condition. Les auteurs ont raccourci leur preuve et vérifié dans Lean l’argument ainsi simplifié ; l’article indique qu’ils prévoient de publier les deux après un examen final.